Arvude komplekti esitluse tavalised elemendid. Esitluse esimene slaid: elemendid ja komplektid. Tehted hulgaga ja nende omadused. Iseõppimise ülesanne

Komplektid on tavaliselt tähistatud suurega
tähed: A,B,X N ,... ja nende elemendid on
vastavate väikeste tähtedega: a,b,x,n...
Eelkõige võetakse kasutusele järgmised märgid:
ℕ – naturaalarvude hulk;
ℤ – täisarvude hulk;
ℚ – ratsionaalarvude hulk;
ℝ – reaalarvude komplekt (numbriline
sirge).
– kompleksarvude komplekt. Ja nii ongi
järgnev:
N Z Q R C

Tavaliselt tähistatakse komplekti elemente
väikeste tähtedega ja komplektid ise suurte tähtedega.
Seotus
element
m
palju
M
tähistatakse järgmiselt: m M, kus on märk
kreeka sõna esitähe stiliseerimine
(on olla),
mitteomandi märk:

Hulgad võivad olla lõplikud, lõpmatud ja
tühi.
Lõplikku arvu elemente sisaldav hulk
nimetatakse lõplikuks.
Kui komplekt ei sisalda ühtki elementi, siis
seda nimetatakse tühjaks ja tähistatakse Ø-ga.
Näiteks:
1. kursuse üliõpilaste hulk on lõplik hulk;
tähtede arv universumis on lõpmatu
trobikond;
trobikond
õpilased,
Hästi
teadlikud
kolm
välismaa
keel
(jaapani keel,
hiina keel
Ja
prantsuse keel), ilmselt tühi komplekt.

Hulkade määramise meetodid

Komplektide määratlemiseks on kolm võimalust:
1) komplekti kirjeldus
Näited: Y=(yΙ1≤y ≤10) – väärtuste komplekt y alates
segment
X=(xIx>2) – kõigi 2-st suuremate arvude x hulk.
2) komplekti loendamine
Näited:
A = (a, b, c) - kolm venekeelset algustähte
tähestik
N=(1,2,3…)-looduslikud arvud
3) hulkade graafiline defineerimine toimub koos
kasutades Euler-Venni diagramme

Antakse kaks komplekti:
Ja
Kui hulkade elemente on vähe, siis
neid saab diagrammil selgesõnaliselt näidata.

Hulka A nimetatakse hulga B alamhulgaks
(tähistatud A B), kui iga element
hulk A on hulga B element:
vaata joonist 1.1
Riis. 1.1
Sel juhul ütleme, et B sisaldab A-d või B hõlmab A-d
komplekti C mittekaasamine komplekti B,
tähistatakse järgmiselt:

Hulgad A ja B on võrdsed (A=B) siis ja ainult
siis kui A B ja B A ehk hulkade elemendid
A ja B on samad.
Näide: A=(1,2,3), B=(3,2,1), C=(1,2,3,3) on võrdsed.
Hulk C on komplekt A, ainult selles
element 3 kirjutatakse kaks korda.
Näide: A=(1,2), B=(1,2,3) – EI OLE VÕRDSED
Komplektide perekond on komplekt
mille elemendid on ise hulgad.
Näide: A=((Ø),(1,2),(3,4,5)) - perekond, mis koosneb
kolmest komplektist.
Igal mittetühjal alamhulgal A≠ Ø on
vähemalt kaks erinevat alamhulka: ise
A ja Ø komplekt.

Trobikond
A
helistas
oma
hulga B alamhulk, kui A on B ja B on A.
See on tähistatud järgmiselt: A B.
Näiteks,
Üldtunnustatud seisukoht on, et tühi komplekt on
mis tahes hulga alamhulk.
Lõpliku hulga M kardinaalsus on arv
selle elemendid. Tähistatakse M
Näiteks B =6. A = 3.

Määra toimingud

Hulkade A ja B liit (summa).
(tähistatud A B) nimetatakse hulgaks C
elemendid, millest igaüks kuulub küll
üks komplektidest A või B. Võimalikud on kolm
juhtum:
1) A=B;
2) komplektidel on ühised elemendid;
3) komplektidel ei ole ühiseid elemente.
Näited:
1)A=(1,2,3), B= (1,2,3), siis A B= (1,2,3).

A B=(1,2,3,4,5,6)
3) A=(1,2,3), B=(4,6,8), siis A B=(1,2,3,4,6,8)

Vaadeldavad juhtumid on selged
illustreeritud joonisel
A, B
A
IN
A
IN

Hulkade A ja B ristumiskoht
nimetatakse uueks komplektiks C,
mis koosneb ainult elementidest
samaaegselt kuulumine
komplektid A, B
Nimetus C=A B
Võimalikud on kolm juhtumit:
1) A=B
2) komplektidel on ühised elemendid
3) komplektidel pole ühist
elemendid.

Näited:
1)A=(1,2,3), B= (1,2,3), siis A B=
{1,2,3}.
2)A=(1,2,3), B=(2,3,4,5,6), siis
A B=(2,3)
3) A=(1,2,3), B=(4,6,8), siis A B=

Hulkade A ja B erinevust nimetatakse
elementidest koosnev hulk C
kuuluvad ainult hulka A ja
ei kuulu V-le.
Nimetus: C=A\B

Antakse kaks komplekti:
A=(1,2,3,b,c,d),B=(2,b,d,3).
Seejärel:
A B=(1,2,3,b,c,d)
B alamhulk A
A/B=(1,c)
A B=(2,3,b,d)

Omadused:
1. Ühenduse A B=B A kommutatiivsus
2. Lõike A B=B A kommutatiivsus
3. Kombinatsiooniseadus A (B C)=B (A C)
4. Sama kehtib ristmiku kohta.
5. Distributiivne ristmiku suhtes
A (B C) = A B A C
6. Jaotus seoses assotsiatsiooniga
A (B C) = (A B) (A C)
7. Neeldumisseadus A (A B) = A
8. Neeldumisseadus A (A B)=A
9. A A=A
10. A A=A

A ja B Descartes'i (otsene) korrutis on
uus komplekt C, mis koosneb järjestatud
paarid, millest on võetud paari esimene element
komplekt A ja teine ​​B-st.
A=(1,2,3)
V=(4,5)
C=A B = ((1,4); (1,5); (2,4); (2,5); (3,4); (3,5))
Descartesiuse korrutise võimsus on võrdne
hulga A ja B astmete korrutis:
A B = A ∙ B

A B ≠ B A, välja arvatud juhul, kui A = B (sel juhul
võrdsus on rahul)
Arvestades:
Koordinaatide numbritelg X.x (- ,+).
Koordinaatide arvtelg Y.y (- ,+).
D = X Y
Kahe telje Descartes'i korrutis – punkt
pinnal.
Mõelge Descartes'i tootele,
millel on vara
kommutatiivsus. A=(Ivanov, Petrov)
B = (pikk, kõhn, tugev)
A B = Ivanov on pikk, Ivanov on kõhn,
Ivanov on tugev, Petrov on pikk, Petrov
peenike, Petrov tugev

Slaid 2

Naturaalarvud ja tehted nendega Jaguvus. Alg- ja liitarvud Suurim ühine jagaja ja kõige vähem levinud mitmikülesannete hulga mõisted, ristumiskohad ja hulkade liit Monoomide ja polünoomide faktoritegur polünoomide lühendatud korrutusvalemid Mõelge ja lahendage ülesandeid Autorid

Slaid 3

Naturaalarvud kasvavas järjekorras saab kirjutada jadana 1, 2, 3, 4,... Kõikide naturaalarvude hulk on tähistatud tähega N. Naturaalarvude jaoks on defineeritud aritmeetilised tehted (liitmine, lahutamine, korrutamine ja jagamine), astmeni tõstmine (arv a astmes n, аn on arvu a enda n-kordse korrutamise tulemus), astmeks tõstmise pöördoperatsioon on juure eraldamine (b = ⁿ√а, kui a = bⁿ) Liitmine ja korrutamine rahuldavad kommutatiivseadust (kommutatiivsuse seadust): a+ b=b+a, a b=b a ja kombinatsiooniseadust (assotsiatiivsuse seadus): (a+b)+c=a+(b+c), (a b ) c=a (b c ), samuti distributsiooniseadus: (a+b) c=a c+b c naturaalarvud ja tehted nendega 1 2 3 4 5

Slaid 4

JAGAVUS. LIHTSAD JA KOMPOSIITSED NUMBRID. Arvu a jagamine arvuga b tähendab x, a leidmist: b = x nii, et xb = a. Kui selline arv on olemas, siis öeldakse, et a jagub b-ga ja b-d nimetatakse arvu a jagajaks. Need ja ainult need arvud jaguvad 2-ga (või 5-ga), mille viimane number väljendab arvu, mis jagub 2-ga (või 5-ga). Need ja ainult need arvud jaguvad 4-ga (või 25-ga), mille kaks viimast numbrit väljendavad arvu, mis jagub 4-ga (või 25-ga) Need ja ainult need arvud, mille numbrite summa jagub 3-ga (või 9-ga), jaguvad 3-ga (või 9-ga) Need ja ainult need arvud, mille numbrite summa vahe on paarisarvud jaguvad 11 kohaga ja paaritutes kohtades olevate numbrite summa jagatakse 11-ga. 1-st erinevat arvu nimetatakse algarvuks, kui jagajad on ainult üks ja arv ise. Arvu a, millel on teisi jagajaid, nimetatakse liitarvuks. Mis tahes liitarvu saab esitada algarvude korrutisena, näiteks: 12 = 2 2 3 = 2² 3.

Slaid 5

GCD ja LCM Arvu ja b ühisjagajate hulgast saate valida GCD suurima ühisjagaja (a; b). Näiteks gcd (45 ; 60) = 15. Kui gcd (a ; b) = 1, siis nimetatakse numbreid a ja b koaprimeks. Suvaliste arvude a ja b mis tahes ühisjagaja jagab nende arvude suurima ühisjagaja. Arvu, mis jagub a ja b-ga, nimetatakse arvu a ja b ühiskordseks. A ja b ühiskordajate hulgast saate valida LCM-i vähima ühiskordse (a; b). Näiteks LCM (4; 6) = 12. Suvaliste arvude a ja b mis tahes ühiskordne jagatakse LCM-iga (a; b). Arvud a ja b on kaasalgarvud siis ja ainult siis, kui LCM (a ; b) = a · b.

Slaid 6

Leia kahe arvu gcd: 1. 45 ; 135 2. 84 ; 168 3. 5 ; 60 Leidke kahe arvu LCM: 1. 4 ; 5 2. 6 ; 7 3. 7 ; 8. ülesanded

Slaid 7

Hulga mõiste Üks matemaatika põhimõisteid on hulga mõiste. Hulka võib ette kujutada mõne objekti komplektina (kogumina), mis on ühendatud mingi tunnuse järgi. Komplekt on määratlematu mõiste. Hulk võib koosneda arvudest, objektidest jne. Igat hulka kuuluvat arvu (objekti) nimetatakse hulga elemendiks. on punktide hulk 3. Asjaolu, et element a kuulub hulka A, kirjutatakse kujul a € A. ühekohaliste arvude hulga jaoks: A = (0;1;2;3;4;5;6 ;7;8;9 ) number 4 kuulub A-le, aga arv 20 ei kuulu A-le

Slaid 8

Jätkub 4. Hulk, mis ei sisalda elemente, nimetatakse tühjaks ja tähistatakse sümboliga Ø. 5. Kui ühe hulga A iga element on teise hulga B element, siis nimetatakse hulka A hulga B alamhulgaks. Seda väljendatakse, kirjutades A koos B-ga. 6. Hulkade A ja B ristumiskoht on a. komplekt, mis koosneb elementidest, mis kuuluvad igasse komplekti (joonis 1) A B C Joon. 1

Slaid 9

7. Hulkade A ja B liit on hulk, mis koosneb kõigist hulkade A ja B elementidest ja ainult neist. Hulkade ühendust tähistatakse sümboliga ں ja kirjutatakse C = A ں B = ( x | x € A või x € B (joonis 2) A B Küsimus: milline hulk on nende hulkade liit? A = (1; 2; 5; 7), B = (3; 5; 7; 8) 2. H = (4; 7; 67; 34; 5; 2), M = (7; 89; 34) 3. K = ( 78; 89; 56; 90), P = (87; 98; 65; 9)

Slaid 10

monomiaalid ja polünoomid Avaldist, mis on arvude, muutujate ja naturaalastmete korrutis, nimetatakse monomiaaliks. 2. Monoomi aste on muutujate eksponentide summa. Näiteks 8x³y² on viienda astme monoom. Monoome, mis erinevad ainult arvulise koefitsiendi poolest või on üksteisega võrdsed, nimetatakse sarnasteks. 3. Monoomide algebralist summat nimetatakse polünoomiks Polünoomi aste on sellesse polünoomi kuuluva monoomi kõrgeim aste. Näiteks 1+ 2x² - 5x²y³ on viienda astme polünoom. 4. Polünoomide summa võtmisel tuleb esitada sarnased terminid (terminid). Selleks piisab, kui lisada nende koefitsiendid ja korrutada saadud arv täheavaldisega.

Slaid 11

5. Polünoomide erinevuse võtmisel tuleb sulgudesse panna alamosa polünoom, seejärel avada sulud, muutes iga liikme märgi vastupidiseks ja seejärel tuua sarnased liikmed. Näiteks (4x² - 3x + 3) - (3x² - x + 2) = = 4x² - 3x + 3 - 3x² + x - 2 = x² - 2x + 1. 6. Polünoomi korrutamiseks monoomiga piisavalt, et korrutada iga polünoomi liige monomiga ja liita saadud korrutised. Polünoomi jagamine monomiga on samalaadset reeglit kasutav korrutis. 7. Polünoomi polünoomiga korrutamiseks piisab, kui korrutada esimese polünoomi iga liige teise liikmega ja liita saadud korrutised. Näiteks 5x (x - y) + (2x + y) (x - y) = = 5x² - 5xy + 2x² + xy - 2xy - y² = 7x² - 6xy - y²

Slaid 12

Polünoomi laiendamine teguritega Kui ühisteguri sulgudest välja võtta, saadakse sulgudes olev avaldis polünoomi iga liikme jagamisel ühisteguriga. Näiteks 3ax³ - 6a²x + 12ax² = 3ax(x² - 2a + 12x) Lahendage ise: 1. ab + 2a - 3b - 6 2. 3 (x - 2y)² - 3x + 6y

Slaid 13

lühendatud korrutusvalemid a 2 - b 2 = (a - b)(a + b) (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2

I. Komplekti mõiste.

Hulgateooria sündis 7. detsembril 1873. aastal. Selle teooria rajajaks on saksa matemaatik ja filosoof Georg Cantor (1845–1918). Teda huvitas küsimus, millised arvud on suuremad – loomulikud või reaalsed? Ühes oma sõbrale Richard Dedekindile adresseeritud kirjas kirjutas Cantor, et suutis hulkade kaudu tõestada, et reaalarve on rohkem kui naturaalarve. Selle kirja kuupäevastamise päeva peavad matemaatikud hulgateooria sünnipäevaks.

Mis komplektid täpsemalt on? “Mitmeid on palju, ühena mõistetud” (G. Kantor). Komplekti kontseptsioon on nii lihtne, aktsepteeritud Igapäevane elu ja matemaatikasse üle kantud, et see pole defineeritud, vaid seletatav näidete toel: palju linnu, palju osariike, palju õpilasi. Objekte, objekte, mis moodustavad antud hulga, nimetatakse selleks elemendid. Matemaatikas vaadeldakse ainult neid hulki, millel on selgelt määratletud omadused ja mis koosnevad elementidest, millel on mõned ühised omadused.

Hulkade tähistamiseks on mitu võimalust. Saate kõik komplekti elemendid ümber kirjutada lokkis sulgudes.

Samas näeme selgelt, millistest elementidest komplekt koosneb. Kuid see tähistus on ebamugav, kui kirjeldatakse suure hulga elemente sisaldavaid hulki või hulki, mille elementide arvu ei saa täielikult loetleda, see tähendab lõpmatuid hulki. Näiteks on võimatu üles kirjutada kõiki arvude hulga elemente, mis jaguvad 10-ga. Sel juhul kirjutatakse hulk nii:

.

Komplektidega töötamise mugavuse huvides on need tähistatud suure algustähega.

Kui hulgal pole ühtki elementi, siis kutsutakse seda tühi komplekt ja on näidatud? . Näiteks on tiivuliste vaalade komplekt ja on tühi komplekt.

Hulgad ise võivad olla ka hulga elemendid

Olgu komplekt ette antud. Element 3 kuulub komplekti IN, on see tähistatud kui . Element 8 ei kuulu komplekti IN, seda tähistab .

Harjutused

II. Komplektide võrdsus.

Komplekti väga oluline omadus on see, et sellel ei ole identseid elemente või õigemini, et need kõik erinevad üksteisest. See tähendab, et saate kirjutada nii palju identseid elemente, kui soovite, kuid need toimivad ühena. See tähendab, et komplekt ei saa sisaldada samu elemente mitmes versioonis. Oletame, et kirjutasime hulga üles. Selles komplektis korratakse elementi 7 mitu korda, kuid me käsitleme seda üheks. Seetõttu on meie rahvahulk .

Vaatleme kahte komplekti ja . Need komplektid koosnevad samadest elementidest, kuigi need on kirjutatud erinevas järjekorras. Selliseid komplekte nimetatakse võrdseteks. Nii et kaks komplektid on võrdsed, kui need sisaldavad samu elemente.

Harjutused

III. Alamhulk.

Kaaluge mitu päeva nädalas. Paneme selle kirja.

Nüüd valime ainult tööpäevad. Nad moodustavad suure hulga.

Vaatame, mis suhtes on komplekt R, arvestades selle elemente, seoses hulgaga S. Võite märgata, et kõik komplekti elemendid R sisalduvad paljudes S. Nii et neid on palju R on osa komplektist S või alamhulk. Seega, kui iga mõne komplekti element R on samal ajal kogumi element S, siis võime seda öelda R – alamhulk komplektid S. See on tähistatud järgmiselt. Rahvas ise S on ka oma alamhulk. On väga oluline märkida, et tühi hulk on iga komplekti alamhulk. See tähendab, et kui meil on vaja üles kirjutada kõik hulga alamhulgad, siis kirjutame: .

Harjutused

1. Antud komplektid:

1. trobikond A meie kooli 5. klassi õpilased;
2. trobikond IN kõik meie kooli õpilased;
3. trobikond KOOS basseini külastamas meie kooli 5. klassi õpilased;
4. trobikond E kõik Novokuznetski linna koolilapsed;
5. trobikond TO meie kooli 5. matemaatikaklassi õpilased.

Kas vastab tõele, et:

1. trobikond A on hulga alamhulk IN;
2. trobikond A on hulga alamhulk TO;
3. trobikond IN on hulga alamhulk E;
4. trobikond TO on hulga alamhulk KOOS;

Märgi I abil kirjuta üles hulkade nimed sellises järjekorras, et iga järgnev hulk oleks eelmise hulga alamhulk.

2. Paljudele kirjutage üles kõik selle alamhulgad.

IV. Paljude ristmik.

Mõelge kahele komplektile Ja . Loome uue komplekti KOOS, millesse kirjutame hulkade ühised elemendid A Ja IN. Neil on ühised elemendid 5 ja 6, mis tähendab . Trobikond KOOS helistas ristmik komplektid A Ja IN. See on tähistatud järgmiselt:

Hulkade A ja B ristumiskoht on uus hulk, mis sisaldab neid ja ainult neid elemente, mis kuuluvad samaaegselt nii hulka A kui ka hulka B.

Lase R- meie koolis on palju matemaatikatundide õpilasi, TO on viienda klassi õpilaste hulk, siis (hulkade ristumiskoha järgi R Ja TO) tuleb palju viienda klassi matemaatikaõpilasi.

Hulkadel ei ole ühte ühist elementi, seetõttu on nende ristumiskohaks tühi hulk O

Harjutused

1. Komplektid on antud. Leia) ; b) ; V) ; G) .

2. Leia, kui a) ; b)

V. Komplektide liit.

Võtame samad kaks komplekti Ja . Nüüd loome komplekti E järgmiselt - me kirjutame sellesse elemendid, mis kuuluvad vähemalt ühte hulka A Ja IN. Me saame palju. Trobikond E nimetatakse komplektide liiduks A Ja IN. Määratud

Hulkade A ja B liit on uus hulk, mis koosneb nendest ja ainult nendest elementidest, mis kuuluvad vähemalt ühte hulka A või B.

Harjutused

1. Komplektid on antud. Leia: A) ; b) ; V) ; G) .

2. Otsige, kas ja .

3. Antud komplektid. Leia: A) ; b) ; V) ;
G) .

VI. Komplektide erinevus.

Võtame juba tuttavad komplektid Ja . Loome uue komplekti F millesse kirjutame hulga elemendid A, ei kuulu komplekti IN. . Trobikond F nimetatakse määratud erinevuseks A Ja IN. Määratud A\ IN= F.

Kahe hulga A ja B erinevus on hulk, mis sisaldab kõiki hulga A elemente, mis hulka B ei kuulu.

Oluline on märkida, et komplektide lahutamisel ei saa te neid vahetada. Erinevuse leidmisel IN\ A Kirjutame komplekti elemendid uude komplekti IN, mis ei kuulu komplekti A. Tähendab IN\A =.

Harjutused

Komplektid on antud. Leia) ; b) ; V) ; G) .

Leia ja kas ja .

Komplektid on antud. Leia) ; b) ; V) ;
G)

VII. Euleri ringid.

Peterburi Akadeemia üks suurimaid matemaatikuid Leonard Euler (1707–1783) kirjutas rohkem kui 850. teaduslikud tööd. Ühes neist tekkisid ringid, mis "sobivad meie mõtiskluste hõlbustamiseks väga hästi". Neid ringe kutsuti Euleri ringid. Nende ringide abil on mugav geomeetriliselt illustreerida tehteid komplektidel. Joonistel on kujutatud komplektidel tehtavate toimingute illustratsioone. Saate joonistada mitte ainult ringe, vaid ka ovaaale, ristkülikuid ja muid geomeetrilisi kujundeid. Poisid. "Matemaatilise" ringi sees M Seal on 20 meest, mis tähendab, et nad on selles "bioloogilise" ringi osas, mis asub väljaspool ringi M, on biolooge, kes matemaatikaklubis ei käi. Ülejäänud bioloogid, nende mees, on ringide üldosas MB. Seega on matemaatikahuvilised 6 bioloogi.

Vastus. Matemaatikahuvilisi on 6 bioloogi .

Harjutused

1. Klassis on 29 õpilast. Igaüks neist õpib vähemalt ühte keelt – inglise või saksa keelt. inglise keelÕpib 18 inimest, saksa keelt 15 inimest. Kui palju inimesi õpib kahte keelt, nii saksa kui inglise keelt?
2. Klassis on 29 õpilast. Neist 16 õpivad muusikat, 21 käivad matemaatikaringis; 4 ei mängi muusikat ega käi matemaatikaklubis. Kui palju õpilasi ainult matemaatikaringis osaleb? Kui palju matemaatikuid õpib ka muusikat?
3. Pioneerilaagris on 70 last. Neist 27 on seotud draamaklubiga, 32 laulab kooris, 22 armastab sporti. Draamaklubis on 10 kutti koorist, kooris 6 sportlast, draamaklubis 8 sportlast; Nii draamaklubis kui ka kooris käib 3 sportlast. Kui palju on lapsi, kes ei laula, ei ole spordist huvitatud, ei osale draamaringis? Kui paljud mehed tegelevad ainult spordiga?
4. Klassis on 38 inimest. Neist 16 inimest mängib korvpalli, 17 inimest hokit, 18 inimest võrkpalli. Neile meeldib kaks spordiala - korvpall ja hoki 4 inimest, korvpall ja võrkpall 3 inimest, võrkpall ja hoki 5 inimest. Kolme ei huvita korvpall, võrkpall ega jäähoki. Kui palju lapsi on korraga huvitatud kolmest spordialast?

Teemakohase temaatilise testi küsimused
"Hoogusteooria elemendid"

Nõutavad oskused: näidata Euleri ringidel ristmikku, liitu, hulkade erinevust; leida hulkade ristmik, liit, erinevus, lahendada kombineeritud näiteid; lahendada lihtsaid ülesandeid kasutades Euleri ringe.