Seda teades tehke eskiis funktsiooni graafikust. Funktsiooni graafiku eskiis (murru-ruutfunktsiooni näitel) Koostage funktsiooni y f x graafiku visand

1. Funktsioonigraafikute visandite koostamise metoodika

2. Näite nr 1 lahendus

3. Näite nr 2 lahendus

Isikuandmete kogumine ja kasutamine

Teabe avaldamine kolmandatele isikutele

Isikuandmete kaitse

Teie privaatsuse austamine ettevõtte tasandil

Selles õppetükis vaatleme funktsiooni graafiku visandi koostamise tehnikat ja toome selgitavaid näiteid.

Teema: kordamine

Õppetund: funktsiooni graafiku visandamine (murru-ruutfunktsiooni näitel)

Meie eesmärk on visandada murdosa ruutfunktsiooni graafik. Näiteks võtame meile juba tuttava funktsiooni:

Antakse murdfunktsioon, mille lugeja ja nimetaja sisaldavad ruutfunktsioone.

Joonistamise tehnika on järgmine:

1. Valige konstantse märgi intervallid ja määrake iga funktsiooni märk (joonis 1)

Uurisime üksikasjalikult ja saime teada, et ODZ-s pidev funktsioon saab märki muuta ainult siis, kui argument läbib ODZ juuri ja murdepunkte.

Antud funktsioon y on oma ODZ-s pidev; näitame ODZ-d:

Leiame juured:

Toome esile märgi püsivuse intervallid. Oleme leidnud funktsiooni juured ja definitsioonipiirkonna murdepunktid - nimetaja juured. Oluline on märkida, et iga intervalli piires säilitab funktsioon oma märgi.

Riis. 1. Funktsiooni konstantse märgi intervallid

Funktsiooni märgi määramiseks igal intervallil võite võtta mis tahes intervalli kuuluva punkti, asendada selle funktsiooniga ja määrata selle märgi. Näiteks:

Intervallil on funktsioonil plussmärk

Intervallil on funktsioonil miinusmärk.

See on intervallmeetodi eelis: määrame märgi ühes katsepunktis ja järeldame, et funktsioonil on kogu valitud intervalli jooksul sama märk.

Siiski saate märgid määrata automaatselt, ilma funktsiooni väärtusi arvutamata, määrata selleks äärmise intervalliga märgi ja seejärel märke vaheldumisi muuta.

1. Ehitame iga juure lähedusse graafiku. Tuletage meelde, et selle funktsiooni juured ja :

Riis. 2. Graafika juurte läheduses

Kuna mingis punktis muutub funktsiooni märk plussist miinusesse, on kõver esmalt telje kohal, seejärel läbib nulli ja seejärel asub x-telje all. Hetkel on vastupidi.

2. Koostame iga ODZ katkestuse läheduses graafiku. Tuletame meelde, et selle funktsiooni nimetaja juured ja :

Riis. 3. Funktsiooni graafik ODZ katkestuspunktide läheduses

Kui murdosa nimetaja on praktiliselt võrdne nulliga, tähendab see, et kui argumendi väärtus kaldub nendele numbritele, kaldub murdosa väärtus lõpmatuseni. IN sel juhul, kui argument läheneb vasakpoolsele kolmikule, on funktsioon positiivne ja kaldub pluss lõpmatuseni, paremal on funktsioon negatiivne ja ületab miinuslõpmatust. Nelja paiku, vastupidi, vasakul kipub funktsioon miinus lõpmatust ja paremal pool pluss lõpmatus.

Konstrueeritud visandi järgi võime oletada funktsiooni käitumise olemust mõnes intervallis.

Riis. 4. Funktsioonigraafiku eskiis

Vaatleme järgmist olulist ülesannet – konstrueerida funktsiooni graafik lõpmatuspunktide läheduses, st kui argument kaldub pluss-miinus lõpmatusse. Sel juhul võib konstantsed terminid tähelepanuta jätta. Meil on:

Mõnikord võite leida selle fakti salvestise:

Riis. 5. Lõpmatuse punktide läheduses asuva funktsiooni graafiku visand

Oleme saanud funktsiooni ligikaudse käitumise kogu selle määratluspiirkonnas; siis peame tuletise abil konstruktsiooni täpsustama.

Näide 1 – visandage funktsiooni graafik:

Meil on kolm punkti, mille kaudu funktsioon saab argumendi läbimisel märki muuta.

Määrame iga intervalli funktsiooni märgid. Meil on pluss äärmisel parempoolsel intervallil, siis märgid vahelduvad, kuna kõik juured on esimese astmega.

Ehitame graafiku eskiisi ODZ juurte ja murdepunktide läheduses. Meil on: kuna mingis punktis muutub funktsiooni märk plussist miinusesse, siis on kõver esmalt telje kohal, seejärel läbib nulli ja seejärel asub x-telje all. Kui murdosa nimetaja on praktiliselt võrdne nulliga, tähendab see, et kui argumendi väärtus kaldub nendele numbritele, kaldub murdosa väärtus lõpmatuseni. Sel juhul, kui argument läheneb vasakul miinus kahele, on funktsioon negatiivne ja kaldub miinuslõpmatusse, paremal on funktsioon positiivne ja jätab pluss lõpmatuse. Umbes kaks on sama.

Leiame funktsiooni tuletise:

Ilmselgelt on tuletis alati nullist väiksem, seetõttu funktsioon väheneb kõigis jaotistes. Niisiis, lõigus miinus lõpmatus miinus kaks väheneb funktsioon nullist miinus lõpmatuseni; lõigus miinus kaks nullini väheneb funktsioon pluss lõpmatusest nullini; lõigus nullist kaheni väheneb funktsioon nullist miinus lõpmatuseni; lõigus kahest plusslõpmatuseni väheneb funktsioon plusslõpmatusest nullini.

Illustreerime:

Riis. 6. Funktsiooni graafiku skeem näiteks 1

Näide 2 – visandage funktsiooni graafik:

Koostame funktsiooni graafiku visandi ilma tuletist kasutamata.

Kõigepealt uurime antud funktsiooni:

Meil on üks punkt, mille kaudu funktsioon saab argumendi läbimisel märki muuta.

Pange tähele, et antud funktsioon on paaritu.

Määrame iga intervalli funktsiooni märgid. Meil on pluss äärmisel parempoolsel intervallil, siis märk muutub, kuna juurel on esimene aste.

Ehitame juure läheduses graafiku visandi. Meil on: kuna mingis punktis muutub funktsiooni märk miinusest plussiks, siis on kõver esmalt telje all, seejärel läbib nulli ja seejärel asub x-telje kohal.

Nüüd koostame joonise funktsiooni graafikust punktide läheduses lõpmatus, st kui argument kaldub pluss või miinus lõpmatusse. Sel juhul võib konstantsed terminid tähelepanuta jätta. Meil on:

Pärast ülaltoodud toimingute sooritamist kujutame juba ette funktsiooni graafikut, kuid peame selle tuletise abil selgitama.

Teie privaatsuse säilitamine on meie jaoks oluline. Sel põhjusel oleme välja töötanud privaatsuspoliitika, mis kirjeldab, kuidas me teie teavet kasutame ja säilitame. Palun vaadake üle meie privaatsustavad ja andke meile teada, kui teil on küsimusi.

Isikuandmed viitavad andmetele, mida saab kasutada konkreetse isiku tuvastamiseks või temaga ühenduse võtmiseks.

Teil võidakse paluda esitada oma isikuandmed igal ajal, kui võtate meiega ühendust.

Allpool on mõned näited, millist tüüpi isikuandmeid võime koguda ja kuidas me seda teavet kasutada võime.

Milliseid isikuandmeid me kogume:

Kui esitate saidil avalduse, võime koguda erinevat teavet, sealhulgas teie nime, telefoninumbrit, e-posti aadressi jne.

Kuidas me teie isikuandmeid kasutame:

Meie poolt kogutud isiklik informatsioon võimaldab meil teiega ühendust võtta ja teid teavitada ainulaadsetest pakkumistest, tutvustustest ja muudest sündmustest ning eelseisvatest sündmustest.
Aeg-ajalt võime kasutada teie isikuandmeid oluliste teadete ja teadete saatmiseks.
Võime kasutada isikuandmeid ka sisemistel eesmärkidel, näiteks auditite, andmeanalüüsi ja erinevate uuringute läbiviimiseks, et täiustada pakutavaid teenuseid ja anda teile soovitusi meie teenuste kohta.
Kui osalete auhinnaloosis, -võistlusel või sarnases kampaanias, võime kasutada teie esitatud teavet selliste programmide haldamiseks.

Me ei avalda teilt saadud teavet kolmandatele isikutele.

Erandid:

Vajadusel - vastavalt seadusele, kohtumenetlusele, kohtumenetlusele ja/või avalike taotluste või taotluste alusel valitsusagentuurid Vene Föderatsiooni territooriumil - avaldage oma isikuandmed. Samuti võime avaldada teie kohta teavet, kui leiame, et selline avaldamine on vajalik või asjakohane turvalisuse, õiguskaitse või muudel avalikel eesmärkidel.
Ümberkorraldamise, ühinemise või müügi korral võime kogutud isikuandmed edastada kohaldatavale õigusjärglasele kolmandale osapoolele.

Me võtame kasutusele ettevaatusabinõud – sealhulgas halduslikud, tehnilised ja füüsilised –, et kaitsta teie isikuandmeid kaotsimineku, varguse ja väärkasutuse, samuti volitamata juurdepääsu, avalikustamise, muutmise ja hävitamise eest.

x juures, siis gra-

y 2 x 5 . Sest

fic funktsioonid peituvad

asümptoodi kohal

Teie isikuandmete turvalisuse tagamiseks edastame oma töötajatele privaatsus- ja turvastandardid ning rakendame rangelt privaatsustavasid.


Funktsioonigraafikute joonistamine. . . . . . . . . . . .
1. Funktsiooni uurimise plaan graafiku koostamisel. .
2. Funktsiooni uurimise põhimõisted ja etapid. . . .
1. Funktsiooni D domeen f ja set
funktsiooni E f väärtused. Eriomadused
funktsioonid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Asümptootide uurimine. . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1. Vertikaalsed asümptoodid. . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Kaldus (horisontaalsed) asümptoodid. . . . . . .
2.3. Mittevertikaalsete asümptootide uurimise meetodid. .
2.4. Funktsioonigraafiku suhteline asukoht
ja selle asümptoodid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Funktsiooni graafiku visandamine. . . . . . . . . .
4. Kasvava ja kahaneva funktsiooni lõigud
Miinimum- ja maksimumpunktid. . . . . . . . . . . . . . .
5. Kumer funktsioon üles ja alla
Pöördepunktid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. Funktsiooni diferentseerimine, analüütiline
mille avaldis sisaldab moodulit. . . . . . . . . . . . .
4. Põhinõuded uurimistulemustele
ja joonistamine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. Näited funktsioonide uurimisest ja ehitamisest
funktsiooni graafikud. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Näide 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Näide 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Näide 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Näide 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Näide 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Näide 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kõverate joonistamine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.Kõverate uurimise ja ehitamise plaan. . . . . . . . . .

2. Kõvera uurimise põhimõisted ja etapid. . . . .
	Funktsioonide x x t ja y y t uurimine. . . . . . .
	Uurimistulemuste kasutamine x x t . .
2.1. Kõvera vertikaalsed asümptoodid. . . . . . . . . . .
2.2. Kõvera kaldus (horisontaalsed) asümptoodid. .
	Tulemuste analüüs ja eskiisi konstrueerimine
funktsioonigraafika. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. Kasvava ja kahaneva kõvera lõiked
Funktsioonide miinimum- ja maksimumpunktid
x x y ja y y x , kõvera haripunktid. . . . . . .
	Kumer funktsioon üles ja alla. Pöördepunktid. .
3. Parameetriliselt määratud kõverate konstrueerimine. . . . . .
Näide 7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Näide 8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Näide 9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Probleemid iseseisvaks lahendamiseks. . . . . .
Vastused. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Graafikufunktsioonid

1. Funktsiooni uurimise plaan graafiku koostamisel

1. Leidke funktsiooni määratluspiirkond. Sageli on kasulik arvestada funktsiooni mitme väärtusega. Uurige funktsiooni eriomadusi: paaris, paaritu; perioodilisus, sümmeetria omadused.

2. Uurige funktsiooni graafiku asümptoote: vertikaalne, kaldu. Analüüsige funktsiooni graafiku suhtelist asukohta ja selle kald (horisontaalseid) asümptoote.

3. Joonistage graafiku eskiis.

4. Leia funktsiooni monotoonsuse alad: suurenev ja kahanev. Leia funktsiooni äärmused: miinimumid ja maksimumid.

Leia ühepoolsed tuletised funktsiooni tuletise katkestuspunktides ja funktsiooni definitsioonipiirkonna piiripunktides (kui on olemas ühepoolsed tuletised).

5. Leia funktsiooni kumerusvahemikud ja käändepunktid.

2. Funktsiooni uurimise põhimõisted ja etapid

1. Funktsiooni domeen Df ja palju tähendusi

funktsiooni E f. Funktsiooni eriomadused

Märkige funktsiooni definitsioonipiirkond, märkige see abstsissteljele koos piiripunktide ja punkteeritud punktidega ning märkige nende punktide abstsissid. Funktsiooni määratluspiirkonna leidmine pole vajalik.

Ei ole vaja leida mitut funktsiooni väärtust. Graafiku visandi koostamiseks, uuringu tulemuste ja graafiku õigsuse kontrollimiseks kasutatakse väärtuste komplekti hõlpsasti uuritavaid omadusi: mittenegatiivsust, piiritust alt või ülevalt jne.

x meeldib

Paarisfunktsiooni graafik on sümmeetriline ordinaattelje Oy suhtes. Paaritu funktsiooni graafik on lähtekoha suhtes sümmeetriline. Paaris- ja paarituid funktsioone uuritakse definitsioonivaldkonna positiivsel poolel.

Perioodilist funktsiooni uuritakse ühel perioodil ja

Diagrammi näidatakse 2-3 perioodi kohta.
2. Asümptootide uurimine
2.1. Vertikaalsed asümptoodid
Definitsioon 1.				x x0		helistas		vertikaalne
funktsiooni graafiku asümptoot				y f x,			kui lõpetatud
üks tingimus:			lim f x 1				lim f x .
			x x0 0				x x0 0
2.2. Kaldus (horisontaalsed) asümptoodid

noah) funktsiooni graafiku asümptoot					y f x x juures,
lim f x kx b 0 .
					x juures
	asümptoodi määratlus
klim		b lim f x kx . Arvutades vastavat


piirid, saame asümptoodi võrrandi y kx b .
Sarnane väide kehtib ka juhul, kui

Kui k 0, siis nimetatakse asümptooti kaldu.
k 0, siis asümptoot			y b nimetatakse horisontaalseks.
Sarnaselt tutvustatakse ka kalde ja horisontaalse mõisteid.
funktsiooni y f x graafiku asümptoodid						kell x.

2.3. Mittevertikaalsete asümptootide uurimise meetodid Asümptootide uurimine x ja jaoks

reegel viiakse läbi eraldi.

1 Kas sümboliga tähistame ühe juhtumi täitmist

Mõnel erijuhul on võimalik ühiselt uurida asümptoote punktis x ja x, näiteks

1) ratsionaalsed funktsioonid;

2) paaris- ja paarituid funktsioone, mille graafikute puhul saab uuringu läbi viia definitsioonipiirkonna osas.

Põhiosa valimise meetod. Asümptoodi leidmiseks valime põhiosa funktsioonid x jaoks. Samamoodi x jaoks.

Murdratsionaalfunktsiooni põhiosa Seda on mugav leida, tõstes esile kogu murdosa:

Näide 1. Leia funktsiooni graafiku kaldu asümptoodid

f x 2 x 3 x 2 . x 1

f x 2 x 5					o 1 kl	x , siis sirge

Mai y 2 x 5 on soovitud asümptoot. ◄

Irratsionaalse funktsiooni põhiosa otsustamisel praktilisi näiteid seda on mugav leida kasutades funktsiooni esitamise meetodeid Taylori valemiga x jaoks.

Näide 2. Leia funktsiooni graafiku kaldus asümptoot

x 4 3 x 1

kell x.

x 4 o1

x jaoks, siis sirgjoon		y x 4 on soovitud asümptoot.

		irratsionaalne
		f x 3		mugav leida
	ax2 bx c ja		ax3 bx2 cx d

kasutage radikaali avaldise täieliku ruudu või täieliku kuubi eraldamise meetodit.

Näide 3. Leia funktsiooni f x x 2 6 x 14 graafiku kald asümptoodid x ja x jaoks.

Radikaalses avaldises valime terve ruudu

x 3 2

5 . Kuna funktsiooni graafik

f x on sümmeetriline

sirgjoone suhtes x 3 ja

siis f x ~

kell x.

x 3 2 5

Nii et see on sirge

y x 3 on

asümptoot punktis x ja sirge y 3 x

Asümptoot kell

x. ◄

Asümptootide leidmiseks võite kasutada põhiosa eraldamise meetodit.

Näide 4. Leia funktsiooni f x 4 x 2 x 2 graafiku asümptoodid.

f x 2

See on funktsioon

on asümptoot

y 2 x

ja asümptoot

y 2 x

kell x .◄

Transtsendentaalsete funktsioonide jaoks mõlemad meetodid on vastuvõetavad

asümptootide järgimine praktiliste näidete lahendamisel.

Märkus 1. Asümptootide uurimisel irratsionaalsed, transtsendentaalsed funktsioonid, ja funktsioonid, mille analüütiline avaldis sisaldab moodulit, Soovitatav on kaaluda kahte juhtumit: x ja x. Asümptootide ühine uuring punktis x ja x võib põhjustada uuringus vigu. X piiride ehk põhiosa leidmisel on vaja muuta muutujat x t.

2.4. Funktsiooni ja selle asümptootide graafiku suhteline asukoht

a) Kui funktsioonil y f x on asümptoot punktis x,

on diferentseeruv ja allapoole rangelt kumer kiirtel x x 0, siis graafikul

funktsiooni fic asub asümptoodi kohal (joonis 1.1).

b) Kui funktsioonil y f x on asümptoot punktis x,

on diferentseeruv ja rangelt kumer kiirel x x 0, siis

funktsiooni graafik asub asümptoodi all (joonis 1.2).

c) Funktsiooni graafiku käitumises võib esineda ka teisi juhtumeid, kuna see kaldub asümptoodile. Näiteks on võimalik, et funktsiooni graafik lõikub asümptoodiga lõpmatu arv kordi (joonis 1.3 ja 1.4).

Sarnane väide kehtib ka x kohta.

Enne funktsioonigraafiku kumeruse omaduste uurimist saab põhiosa eraldamise meetodil määrata funktsioonigraafiku ja selle asümptootide suhtelised asukohad märgiga o 1.

Näide 5. Määrake graafiku suhteline asukoht

funktsioon f x 2 x 2 3 x 2 ja selle asümptoodid. x 1

0 juures x, siis asub funktsiooni graafik asümptootika all

sa 2 x 5 . ◄

Näide 6. Määrake graafiku suhteline asukoht

funktsioonid f x

x 4 3 x 1

ja selle asümptoodid x jaoks.

x 2 1

Võrdsusest

x järeldub, et funktsiooni graafik asub asümptoodi y x 4 all. ◄

Näide 7. Määrake funktsiooni f x x 2 6 x 14 graafiku ja selle asümptootide suhteline asukoht.

Kuna f x x 3 (vt näide 3), siis

x 3 2 5 x 3

funktsiooni graafik asub asümptoodi y x 3 kohal punktides x ja x. ◄

Näide 8. Määrake graafiku suhteline asukoht

f x 3 x 3 6 x 2 2 x 14 ja selle asümptoodid.

kui x 3 6 x 2

2 x 14 x 2 3 14 x 6, seejärel kasutades

a x 2 3 14 x 6,

b x 2 3, saame f x x 2

14x6

3 x 2 3 14 x 6 2

x 2 3

x 2 3 14 x 6

x 2 2

erinevus on x juures positiivne

ja negatiivne x juures

Seetõttu asub funktsiooni graafik punktis x asümptoodi y x 2 all ja punktis x asümptoodi y x 2 kohal.◄

Asümptootide uurimise piirmäärade arvutamise meetod ei võimalda hinnata funktsiooni graafiku ja selle asümptootide suhtelist asukohta.

3. Funktsiooni graafiku visandamine Graafi visandi koostamiseks vertikaal- ja

kaldu asümptoodid, funktsiooni graafiku lõikepunktid telgedega. Võttes arvesse funktsiooni ja asümptootide graafiku suhtelist asukohta, koostatakse graafiku visand. Kui funktsiooni graafik asub asümptoodi kohal (all) punktis x, siis eeldades, et

on olemas punkt x 0, nii et punktide x x 0 hulgas pole käändepunkte,

leiame, et funktsioon on kumer allapoole (ülespoole), st asümptoodi suhtes. Samamoodi saab ennustada asümptoodi kumeruse suunda vertikaalsete asümptootide ja asümptoodi x asümptoodi suhtes. Kuid nagu ülaltoodud näide näitab

funktsioon y x sin 2 x , sellised eeldused ei pruugi olla x

4. Suureneva ja kahaneva funktsiooni valdkonnad. Miinimum- ja maksimumpunktid

3. definitsioon.	Kutsutakse funktsioon f x	suureneb
(vähenemine) intervallil a, b, kui see on olemas		x1 , x2 a, b ,
nii et x 1 x 2	on ebavõrdsus	f x1 f x2
(f x1 f x2).

Funktsioon f x diferentseeruv intervallil a, b

sulab (väheneb) intervallil a, b, siis ja ainult siis

funktsioon f x .

Ekstreemumi vajalik tingimus. Kui

Punkt endine

funktsiooni f x tremum, siis selles punktis kas

f x 0 0 või

tuletist ei eksisteeri.

Ekstreemumiks piisavad tingimused.

f x diferentsiaal

1. Olgu olemas 0 nii, et funktsioon

on kiiritav punkti x 0 torgatud -naabruses

ja pidev

punktis x 0. Siis

a) kui selle tuletis muudab miinuse märgi plussiks, kui uuesti

punkti kaudu edasiminek		x 0,

			x x 0 , x 0 , siis x 0 on maksimumpunkt
	x 0 mis tahes
funktsioonid f x ;
	b) kui selle tuletis muudab plussmärgi miinusmärgiks uuesti
punkti kaudu edasiminek		x 0,
			need. f x 0 mis tahes x x 0, x 0 jaoks,
			x x 0 , x 0 , siis x 0 on miinimumpunkt
	x 0 mis tahes

funktsioonid f x .

Mudeli näideteks on y x (joonis 2.1) ja

Selles õppetükis vaatleme funktsiooni graafiku visandi koostamise tehnikat ja toome selgitavaid näiteid.

Teema: kordamine

Õppetund: funktsiooni graafiku visandamine (murru-ruutfunktsiooni näitel)

Meie eesmärk on visandada murdosa ruutfunktsiooni graafik. Näiteks võtame meile juba tuttava funktsiooni:

Antakse murdfunktsioon, mille lugeja ja nimetaja sisaldavad ruutfunktsioone.

Joonistamise tehnika on järgmine:

1. Valige konstantse märgi intervallid ja määrake iga funktsiooni märk (joonis 1)

Uurisime üksikasjalikult ja saime teada, et ODZ-s pidev funktsioon saab märki muuta ainult siis, kui argument läbib ODZ juuri ja murdepunkte.

Antud funktsioon y on oma ODZ-s pidev; näitame ODZ-d:

Leiame juured:

Riis. 1. Funktsiooni konstantse märgi intervallid

Funktsiooni märgi määramiseks igal intervallil võite võtta mis tahes intervalli kuuluva punkti, asendada selle funktsiooniga ja määrata selle märgi. Näiteks:

Intervallil on funktsioonil plussmärk

Intervallil on funktsioonil miinusmärk.

See on intervallmeetodi eelis: määrame märgi ühes katsepunktis ja järeldame, et funktsioonil on kogu valitud intervalli jooksul sama märk.

Siiski saate märgid määrata automaatselt, ilma funktsiooni väärtusi arvutamata, määrata selleks äärmise intervalliga märgi ja seejärel märke vaheldumisi muuta.

1. Ehitame iga juure lähedusse graafiku. Tuletage meelde, et selle funktsiooni juured ja :

Riis. 2. Graafika juurte läheduses

Kuna mingis punktis muutub funktsiooni märk plussist miinusesse, on kõver esmalt telje kohal, seejärel läbib nulli ja seejärel asub x-telje all. Hetkel on vastupidi.

2. Koostame iga ODZ katkestuse läheduses graafiku. Tuletame meelde, et selle funktsiooni nimetaja juured ja :

Riis. 3. Funktsiooni graafik ODZ katkestuspunktide läheduses

Kui murdosa nimetaja on praktiliselt võrdne nulliga, tähendab see, et kui argumendi väärtus kaldub nendele numbritele, kaldub murdosa väärtus lõpmatuseni. Sel juhul, kui argument läheneb vasakpoolsele kolmikule, on funktsioon positiivne ja kaldub pluss lõpmatuseni, paremal on funktsioon negatiivne ja ületab miinuslõpmatust. Nelja paiku, vastupidi, vasakul kipub funktsioon miinus lõpmatust ja paremal pool pluss lõpmatus.

Konstrueeritud visandi järgi võime oletada funktsiooni käitumise olemust mõnes intervallis.

Riis. 4. Funktsioonigraafiku eskiis

Vaatleme järgmist olulist ülesannet – konstrueerida funktsiooni graafiku visand punktide läheduses lõpmatus, s.o. kui argument kaldub pluss või miinus lõpmatusse. Sel juhul võib konstantsed terminid tähelepanuta jätta. Meil on:

Mõnikord võite leida selle fakti salvestise:

Riis. 5. Lõpmatuse punktide läheduses asuva funktsiooni graafiku visand

Oleme saanud funktsiooni ligikaudse käitumise kogu selle määratluspiirkonnas; siis peame tuletise abil konstruktsiooni täpsustama.

Näide 1 – visandage funktsiooni graafik:

Meil on kolm punkti, mille kaudu funktsioon saab argumendi läbimisel märki muuta.

Määrame iga intervalli funktsiooni märgid. Meil on pluss äärmisel parempoolsel intervallil, siis märgid vahelduvad, kuna kõik juured on esimese astmega.

Leiame funktsiooni tuletise:

Illustreerime:

Riis. 6. Funktsiooni graafiku skeem näiteks 1

Näide 2 – visandage funktsiooni graafik:

Koostame funktsiooni graafiku visandi ilma tuletist kasutamata.

Kõigepealt uurime antud funktsiooni:

Meil on üks punkt, mille kaudu funktsioon saab argumendi läbimisel märki muuta.

Pange tähele, et antud funktsioon on paaritu.

Määrame iga intervalli funktsiooni märgid. Meil on pluss äärmisel parempoolsel intervallil, siis märk muutub, kuna juurel on esimene aste.

Nüüd konstrueerime sketši funktsiooni graafikust punktide läheduses lõpmatus, s.t. kui argument kaldub pluss või miinus lõpmatusse. Sel juhul võib konstantsed terminid tähelepanuta jätta. Meil on:

Pärast ülaltoodud toimingute sooritamist kujutame juba ette funktsiooni graafikut, kuid peame selle tuletise abil selgitama.

Leiame funktsiooni tuletise:

Valime tuletise konstantse märgi intervallid: at . ODZ siin. Seega on meil kolm tuletise konstantse märgi intervalli ja kolm algfunktsiooni monotoonsuse osa. Määrame iga intervalli tuletise märgid. Millal tuletis on positiivne, funktsioon suureneb; kui tuletis on negatiivne, on funktsioon kahanev. Sel juhul - miinimumpunkt, sest tuletis muudab märgi miinusest plussiks; vastupidi, maksimumpunkt.

“Tuletisülesanded” – ?f(x) = f(x) – f(x0). x0 x0+?x. Kuidas te ette kujutate hetkeline kiirus? Hetkelise kiiruse probleem. y. Kuidas kujutate ette hetkekiirust? ?X=x-x0. Öeldu on vormis kirjas. Esiteks määratlesime oma uurimistöö "territooriumi". A l g o r i t m Kiirus v järk-järgult suureneb.

"Tuletusfunktsiooni uurimine" – kahur tulistab horisondi suhtes nurga all. Variant 1 A B D Variant 2 G B B. Munitsipaalharidusasutus Meshkovskaya Keskkool Matemaatika õpetaja Kovaleva T.V. Funktsioon on määratletud lõigul [-4;4] . Kuidas on tuletis ja funktsioon seotud? Vastused: TULETISE RAKENDAMINE FUNKTSIOONI UURIMISELE: suurendavad ja kahanevad funktsioonid. ÜLESANNE Mäletate lugu parun Münchausenist?

"Keerulise funktsiooni tuletis" - kompleksfunktsioon. Reegel kompleksfunktsiooni tuletise leidmiseks. Lihtfunktsiooni tuletis. Kompleksfunktsiooni tuletis. Keeruline funktsioon: näited:

“Tuletise rakendamine funktsioonide uurimisel” - 6. -1. 8. Täpsustage kriitilised punktid funktsioonid, kasutades funktsiooni tuletise graafikut. 1. =. 1. juuli 1646 – 14. november 1716, soojendus. Märk funktsioonide suurenemisest ja vähenemisest. Määrata funktsiooni tuletise märk intervallidel.

“Keerulise funktsiooni tuletise õppetund” – kompleksfunktsiooni tuletis. Arvuta punkti kiirus: a) ajahetkel t; b) hetkel t=2 s. Leia funktsioonide tuletised: , Kui. Brooke Taylor. Leia funktsiooni diferentsiaal: milliste x väärtuste korral kehtib võrdsus. Punkt liigub sirgjooneliselt vastavalt seadusele s(t) = s(t) = (s on teekond meetrites, t on aeg sekundites).

“Tuletise definitsioon” - 1. Tõestus: f(x+ ?x). Olgu u(x), v(x) ja w(x) diferentseeruvad funktsioonid mingis intervallis (a; b), C on konstant. f(x). Nurgakoefitsiendiga sirge võrrand: Newtoni binoomvalemit kasutades saame: teoreem. Siis: kompleksfunktsiooni tuletis.

Kokku on 31 ettekannet