Общие элементы множества чисел презентация. Первый слайд презентации: Элементы и множества. Операции над множествами и их свойств. Задание на самоподготовку

Обычно множества обозначают большими
буквами: A,B,X N ,…, а их элементы –
соответствующими маленькими буквами: a,b,x,n…
В частности, приняты следующие обозначения:
ℕ – множество натуральных чисел;
ℤ – множество целых чисел;
ℚ – множество рациональных чисел;
ℝ – множество действительных чисел (числовая
прямая).
– множество комплексных чисел. И верно
следующее:
N Z Q R C

Как правило, элементы множества обозначаются
маленькими буквами, а сами множества - большими.
Принадлежность
элемента
m
множеству
M
обозначается так: m M, где знак является
стилизацией первой буквы греческого слова
(есть, быть),
знак непринадлежности:

Множества могут быть конечными, бесконечными и
пустыми.
Множество, содержащее конечное число элементов,
называется конечным.
Если множество не содержит ни одного элемента, то
оно называется пустым и обозначается Ø.
Например:
множество студентов 1курса - конечное множество;
множество звезд во Вселенной - бесконечное
множество;
множество
студентов,
хорошо
знающих
три
иностранных
языка
(японский,
китайский
и
французский), видимо, пустое множество.

Способы задания множеств

Существуют три способа задания множеств:
1) описание множества
Примеры: Y={yΙ1≤y ≤10} –множество значений у из
отрезка
X={xIx>2} – множество всех чисел х, больших 2.
2) перечисление множества
Примеры:
А={а,б,в}- три начальные буквы русского
алфавита
N={1,2,3…}-натуральные числа
3)графическое задание множеств происходит с
помощью диаграмм Эйлера-Венна

Заданы два множества:
и
Если элементов множеств немного, то
они могут на диаграмме указываться явно.

Множество А называют подмножеством множества В
(обозначается А В), если всякий элемент
множества А является элементом множества В:
см.рис 1.1
Рис. 1.1
При этом говорят, что В содержит А, или В покрывает А
Невключение множества С в множество В,
обозначается так:

Множества А и В равны (А=В) тогда и только
тогда, когда, А В и В А, т. е. элементы множеств
А и В совпадают.
Пример: А={1,2,3}, B={3,2,1}, C={1,2,3,3}- равны.
Множество С – это множество А, только в нем
элемент 3 записан дважды.
Пример: А={1,2}, B={1,2,3}- НЕ РАВНЫ
Семейством множеств называется множество,
элементы которого сами являются множествами.
Пример: А={{Ø},{1,2},{3,4,5}}- семейство, состоящее
из трех множеств.
Каждое непустое подмножество А≠ Ø имеет по
крайней мере два различных подмножества: само
множество А и Ø.

Множество
А
называется
собственным
подмножеством множества В, если А В, а В А.
Обозначается так: А В.
Например,
Принято считать, что пустое множество является
подмножеством любого множества.
Мощностью конечного множества М называется число
его элементов. Обозначается M
Например, B =6. A =3.

Операции над множествами

Объединением (суммой) множеств А и В
(обозначается А В) называется множество С тех
элементов, каждый из которых принадлежит хотя
бы одному из множеств А или В. Возможны три
случая:
1) А=В;
2) множества имеют общие элементы;
3) множества не имеют общих элементов.
Примеры:
1)А={1,2,3}, B= {1,2,3}, тогда А В= {1,2,3}.

А В={1,2,3,4,5,6}
3) A={1,2,3}, B={4,6,8}, тогда А В={1,2,3,4,6,8}

Рассмотренные случаи наглядно
проиллюстрированы на рисунке
А,В
А
В
А
В

Пересечением множеств А и В
называется новое множество С,
которое состоит только из элементов
одновременно принадлежащих,
множествам А, В
Обозначение С=А В
Возможны три случая:
1) А=В
2) множества имеют общие элементы
3) множества не имеют общих
элементов.

Примеры:
1)А={1,2,3}, B= {1,2,3}, тогда А В=
{1,2,3}.
2)А={1,2,3}, B={2,3,4,5,6}, тогда
А В={2,3}
3) A={1,2,3}, B={4,6,8}, тогда А В=

Разностью множеств А и В называется
множество С, состоящее из элементов
принадлежащих только множеству А и
не принадлежащих В.
Обозначение: С=А\В

Даны два множества:
А={1,2,3,b,c,d},В={2,b,d,3}.
Тогда:
A B={1,2,3,b,c,d}
B подмножество А
А/В={1,c}
A B={2,3,b,d}

Свойства:
1. Коммутативность объединения А B=B A
2. Коммутативность пересечения А В=В А
3. Сочетательный закон A (B C)=B (A C)
4. То же и для пересечения.
5. Распределительный относительно пересечения
А (В C) = A В A С
6. Распределительный относительно объединения
А (B С) = (А B) (A C)
7. Закон поглощения А (A В)=А
8. Закон поглощения А (А B)=A
9. А A=А
10. A А=A

Декартовое (прямое) произведение А и В - это
новое множество С, состоящее из упорядоченных
пар, в которых первый элемент пары берется из
множества А, а второй из В.
А={1,2,3}
В={4,5}
С=А В = {(1,4);(1,5);(2,4);(2,5);(3,4);(3,5)}
Мощность декартова произведения равна
произведению мощностей множеств А и В:
А В = А ∙ В

A B ≠ В А, кроме если А=В (в этом случае
равенство выполняется)
Дано:
Координатная числовая ось Х.х (- ,+).
Координатная числовая ось Y.у (- ,+).
D=Х Y
Декартовое произведение двух осей - точка
на плоскости.
Рассмотрим декартовое произведение,
которое обладает свойством
коммутативности. А={Иванов, Петров}
В={высокий, худой, сильный}
А В= Иванов высокий, Иванов худой,
Иванов сильный, Петров высокий, Петров
худой, Петров сильный

Слайд 2

Натуральные числа и действия над ними Делимость. Простые и составные числа Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное Задачки Понятие множества, пересечение и объединение множеств Одночлены и многочлены Разложение многочлена на множители Формулы сокращённого умножения Подумай и реши Задания Авторы

Слайд 3

Натуральные числа в порядке возрастания можно записать в виде последовательности 1, 2, 3, 4,… Множество всех натуральных чисел обозначается через N. Для натуральных чисел определены арифметические операции(сложение, вычитание, умножение и деление), возведение в Степень(число а в степени n, аn – это результат умножения числа а на себя n раз), обратная операция к возведению в степень – извлечение корня (b = ⁿ√а, если а = bⁿ) Сложение и умножение удовлетворяют переместительному закону(закону коммутативности): a+b=b+a, a·b=b·a и сочетательному закону (закону ассоциативности): (a+b)+c=a+(b+c), (a·b) ·c=a·(b·c), а также распределительному (дистрибутивному) закону: (a+b)·c=a·c+b·c натуральные числа и действия над ними 1 2 3 4 5

Слайд 4

ДЕЛИМОСТЬ. ПРОСТЫЕ И СОСТАВНЫЕ ЧИСЛА. Разделить число а на число b – значит найти такое x, a: b = x, что xb = a. Если такое число существует, то говорят, что а делится на b, а число bназывается делителем числа а. На 2 (или на 5) делятся те и только те числа, последняя цифра которых выражает число, делящееся на 2 (или на 5) На 4 (или на 25) делятся те и только числа, две последние цифры которых выражают число, делящееся на 4 (или на 25) На 3 (или на 9) делятся те и только те числа, сумма цифр которых делится на 3 (или на 9) На 11 делятся те и только те числа, у которых разность между суммой цифр, стоящих на чётных местах, и суммой цифр, стоящих на нечётных местах, делится на 11 Число а, отличное от 1, называется простым, если делителями являются только единица и само число а. Число а, имеющее и другие делители, называется составным. Любое составное число можно представить в виде произведения простых чисел, например: 12 = 2 · 2 · 3 = 2²· 3.

Слайд 5

НОД и НОК Среди общих делителей чисела и b можно выбрать наибольший общий делитель НОД (a ; b). Например, НОД (45 ; 60) = 15. Если НОД (a ; b) =1, то числа а и b называются взаимно простыми. Любой общий делитель произвольных чисел а и b делит наибольший общий делитель этих чисел. Число, делящееся на число а и на число b, называется общим кратным чисел а и b. Среди общих кратных а и b можно выбрать наименьшее общее кратное НОК (a ; b). Например, НОК (4 ; 6) = 12. Любое общее кратное произвольных чисел а и b делится на НОК (a ; b). Числа а и b взаимно просты тогда и только тогда, когда НОК (a ; b) = a · b.

Слайд 6

Найдите НОД двух чисел: 1. 45 ; 135 2. 84 ; 168 3. 5 ; 60 Найдите НОК двух чисел: 1. 4 ; 5 2. 6 ; 7 3. 7 ; 8. задачи

Слайд 7

Понятие множества Одним из фундаментальных понятий математики является понятие множества. Множество можно представить себе как совокупность (собрание) некоторых объектов, объединённых по какому-либо признаку. Множество – понятие неопределяемое. Множество может состоять из чисел, предметов и т. д. Каждое число (предмет), входящее в множество, называется элементом множества. - это множество точек 3. Тот факт, что элемент а принадлежит множеству А, записывается в виде а€ А. для множества однозначных чисел: А={0;1;2;3;4;5;6;7;8;9} число 4 принадлежит А, а число 20 не принадлежит А

Слайд 8

Продолжение 4. Множество, которое не содержит элементов, называется пустым и обозначается символом Ø. 5. Если каждый элемент одного множества А является элементом другого множества В, то говорят, что множество А является подмножеством множества В. Это выражается записью А с В. 6. Пересечением множеств А и В называется множество, состоящее из элементов, которые принадлежат каждому из данных множеств (рис. 1) А В С Рис. 1

Слайд 9

7. Объединением множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов множеств А и В и только из них. Объединение множеств обозначают символом ں и пишут С = А ں В = { x | x € A или x € B (рис. 2) А В Вопрос: какое множество является объединением данных множеств? А = {1 ; 2 ; 5 ; 7} , B = {3 ; 5 ; 7 ; 8} 2. Н = {4 ; 7 ; 67 ; 34 ; 5 ; 2 }, M = {7 ; 89 ; 34 } 3. K = { 78 ; 89 ; 56 ; 90}, P = {87 ; 98 ; 65 ; 9}

Слайд 10

одночлены и многочлены Выражение, представляющее собой произведение чисел, переменных и натуральных степеней, называется одночленом. 2. Степенью одночлена называется сумма показателей степеней переменных. Например, 8x³y² - одночлен пятой степени. Одночлены, отличающиеся только числовым коэффициентом или равные между собой, называются подобными. 3. Алгебраическая сумма одночленов называется многочленом.Степенью многочлена называется наибольшая степень одночлена, входящего в этот многочлен. Например, 1+ 2х² - 5х²у³ - многочлен пятой степени. 4. При взятии суммы многочленов надо привести подобные члены (слагаемые). Для этого достаточно сложить их коэффициенты и полученное число умножить на буквенное выражение.

Слайд 11

5. При взятии разности многочленов надо вычитаемый многочлен взять в скобки, далее раскрыть скобки, меняя знак каждого слагаемого на противоположный, после чего привести подобные члены. Например, (4х² - 3х + 3) – (3х² - х + 2) = = 4х² - 3х + 3 – 3х² + х – 2 = х² - 2х + 1. 6. Чтобы умножить многочлен на одночлен, достаточно каждый член многочлена умножить на одночлен и полученные произведения сложить. Деление многочлена на одночлен произведение по аналогичному правилу. 7. Чтобы умножить многочлен на многочлен, достаточно каждый член первого многочлена умножить на каждый член второго и полученные произведения сложить. Например, 5х(х – у) + (2х + у)(х – у) = = 5х² - 5ху + 2х² + ху – 2ху - у² = 7х² - 6ху - у²

Слайд 12

Разложение многочленана множители При вынесения общего множителя за скобки выражение в скобках получается делением каждого члена многочлена на общий множитель. Например, 3ax³ - 6a²x + 12ax² = 3ax(x² - 2a + 12x) Решите самостоятельно: 1. ab + 2a – 3b – 6 2. 3(x – 2y)² - 3x + 6y

Слайд 13

формулы сокращённого умножения а 2 - в 2 = (а - в)(а + в) (а + в) 2 = а 2 + 2ав + в 2 (a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2

I . Понятие множества.

Теория множеств появилась на свет 7 декабря 1873 года. Основатель этой теории немецкий математик и философ Георг Кантор (1845–1918). Его заинтересовал вопрос, каких чисел больше – натуральных или действительных? В одном из писем адресованных к своему приятелю Рихарду Дедекинду, Кантор писал, что ему удалось доказать посредством множеств, что действительных чисел больше, чем натуральных. День, которым было датировано это письмо, математики считают днем рождения теории множеств.

Что же все-таки представляют собой множества? “Множество есть многое, мыслимое как единое” (Г. Кантор). Понятие множества настолько простое, принятое в повседневной жизни и перенесенное в математику, что оно не определяется, но может быть пояснено с помощью примеров: множество городов, множество государств, множество учащихся. Предметы, объекты, образующие данное множество, называются его элементами . В математике рассматривают только те множества, которые обладают четко определенными свойствами, состоят из элементов, имеющих некоторые общие свойства.

Есть несколько способов обозначения множеств. Можно переписать все элементы множества в фигурные скобки .

При этом мы наглядно видим, из каких элементов состоит множество. Но эта запись неудобна при описании множеств с большим числом элементов или множеств, число элементов которых невозможно перечислить полностью, то есть – бесконечных множеств. Например, невозможно записать все элементы множества чисел, которые делятся на 10. В этом случае множество записывается так:

Для удобства работы с множествами, их обозначают заглавной буквой.

Если во множестве нет ни одного элемента, то оно называется пустым множеством и обозначается? . Например, множество крылатых китов, есть пустое множество.

Сами множества так же могут быть элементами множества

Пусть задано множество . Элемент 3 принадлежит множеству В , это обозначается так . Элемент 8 не принадлежит множеству В , это обозначается .

Упражнения

II. Равенство множеств.

Очень важной особенностью множества является то, что в нем нет одинаковых элементов, вернее, что все они отличны друг от друга. Это значит, можно записать сколь угодно одинаковых элементов, но выступать они будут как один. То есть множество не может содержать одни и те же элементы в нескольких вариантах. Предположим мы записали множество . В этом множестве элемент 7 повторяется несколько раз, но мы его будем рассматривать как один. Поэтому наше множество будет .

Рассмотрим два множества и . Эти множества состоят из одних и тех же элементов, хотя они и записаны в разном порядке. Такие множества называются равными. Итак, два множества равны , если содержат одни и те же элементы.

Упражнения

III. Подмножество.

Рассмотрим множество дней в неделе. Запишем его .

Теперь отберем только рабочие дни. Они составляют множество .

Посмотрим, в каком соотношении находится множество R , учитывая его элементы, по отношению к множеству S . Можно заметить, что все элементы множества R входят в множество S . Значит, множество R является частью множества S или подмножеством . Следовательно, если каждый элемент какого-то множества R является в то же время элементом множества S , то можно сказать, что R – подмножество множества S . Обозначается это так . Само множество S так же является своим подмножеством. Очень важно отметить, что пустое множество является подмножеством каждого множества. Значит, если нам нужно выписать все подмножества множества , то мы запишем: .

Упражнения

1. Даны множества:

множество А учеников 5 класса нашей школы;
множество В всех учеников нашей школы;
множество С учеников 5 класса нашей школы, посещающих бассейн;
множество Е всех учащихся школ города Новокузнецка;
множество К учеников 5 математического класса нашей школы.

Верно ли что:

множество А есть подмножество множества В ;
множество А есть подмножество множества К ;
множество В есть подмножество множества Е ;
множество К есть подмножество множества С ;

Запишите с помощью знака I названия множеств в таком порядке, чтобы каждое следующее множество было подмножеством предыдущего множества.

2. Для множества выпишите все его подмножества.

IV. Пересечение множеств.

Рассмотрим два множества и . Составим новое множество С , в которое запишем общие элементы множеств А и В . Общими у них являются элементы 5 и 6, значит . Множество С называется пересечением множеств А и В . Обозначается так:

Пересечением множеств А и В называется новое множество, содержащее те и только те элементы, которые принадлежат одновременно и множеству А, и множеству В.

Пусть Р – множество учащихся математических классов нашей школы, К – множество учащихся пятых классов, тогда (пересечением множеств Р и К ) будет множество учащихся пятого математического класса.

У множеств и нет ни одного общего элемента, следовательно, их пересечение есть пустое множество О

Упражнения

1. Даны множества . Найдите: а) ; б) ; в) ; г) .

2. Найдите , если а) ; б)

V. Объединение множеств.

Возьмем те же два множества и . Составим теперь множество Е следующим образом – запишем в него элементы, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А и В . Получим множество . Множество Е называют объединением множеств А и В . Обозначается

Объединением множеств А и В называется новое множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В.

Упражнения

1. Даны множества . Найдите: а ) ; б ) ; в ) ; г ) .

2. Найдите если и .

3. Даны множества . Найдите: а ) ; б ) ; в ) ;
г ) .

VI. Разность множеств.

Возьмем уже знакомые множества и . Составим новое множество Ф в которое запишем элементы множества А , не входящие во множество В . . Множество Ф называется разностью множеств А и В . Обозначается А \ В = Ф.

Разностью двух множеств А и В называют такое множество, в которое входят все элементы из множества А, не принадлежащие множеству В.

Важно заметить, что при вычитании множеств нельзя менять их местами. При нахождении разности В \ А в новое множество мы запишем элементы множества В , которые не принадлежат множеству А. Значит В \ А =.

Упражнения

Даны множества . Найдите: а) ; б) ; в) ; г) .

Найдите и если и .

Даны множества . Найдите: а) ; б) ; в) ;
г)

VII. Круги Эйлера.

Один из величайших математиков петербургской академии Леонард Эйлер (1707–1783) за свою долгую жизнь написал более 850 научных работ. В одной из них появились круги, которые “очень подходят для того, чтобы облегчить наши размышления”. Эти круги и назвали кругами Эйлера . С помощью этих кругов удобно геометрически иллюстрировать операции над множествами. На рисунках представлены иллюстрации действий над множествами. Можно рисовать не только круги, но и овалы, прямоугольники и другие геометрические фигуры. ребят. Внутри “математического” круга М находятся 20 ребят, значит, в той части “биологического” круга, которая расположена вне круга М , находятся биологов, не посещающих математический кружок. Остальные биологи, их человек, находятся в общей части кругов МБ . Таким образом, 6 биологов увлекаются математикой.

Ответ. 6 биологов увлекаются математикой.

Упражнения

В классе 29 учащихся. Каждый из них изучает хотя бы один язык – английский или немецкий. Английский язык изучают 18 человек, немецкий язык изучают 15 человек. Сколько человек изучают два языка и немецкий, и английский?
В классе 29 учащихся. Из них 16 занимаются музыкой, 21 посещают математический кружок; 4 не занимаются музыкой и не посещают математический кружок. Сколько учащихся посещают только математический кружок? Сколько математиков занимаются и музыкой?
В пионерском лагере 70 ребят. Из них 27 занимаются в драмкружке, 32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке 10 ребят из хора, в хоре 6 спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов; 3 спортсмена посещают и драмкружок и хор. Сколько ребят не поют, не увлекаются спортом, не занимаются в драмкружке? Сколько ребят заняты только спортом?
В классе 38 человек. Из них 16 человек играют в баскетбол, 17 человек – в хоккей, 18 человек – в волейбол. Увлекаются двумя видами спорта – баскетболом и хоккеем 4 человека, баскетболом и волейболом 3 человека, волейболом и хоккеем 5 человек. Трое не увлекаются ни баскетболом, ни волейболом, ни хоккеем. Сколько ребят увлекаются одновременно тремя видами спорта?

Вопросы к тематическому зачету по теме
“Элементы теории множеств”

Необходимые умения: показывать пересечение, объединение, разность множеств на кругах Эйлера; находить пересечение, объединение, разность множеств, решать комбинированные примеры; решать простейшие задачи с помощью кругов Эйлера.