Преобразование вращательного движения в прямолинейного. Механизмы прямолинейных движений. Реечная и ременная зубчатая передача

В строительных машинах для преобразования вращательного движения в другие виды движений с целью передачи этого движения на рабочий орган применяются различные механизмы.

Реечный механизм, винтовой и кулисный

В строительных машинах для преобразования вращательного движения в другие виды движений с целью передачи этого движения на рабочий орган применяются различные механизмы .

Реечный механизм
Конструкция: ведущее зубчатое колесо и ведомая зубчатая рейка.

Применяется для преобразования вращательного движения в поступательное.
Конструкция: ведущий винт и ведомая гайка.

Применяется для преобразования вращательного движения в поступательное.
Конструкция: ведущий кулачок и ведомый шток с пружиной.

Конструкция: эксцентрик, шатун, ползун.

Применяется для преобразования вращательного движения в возвратно-поступательное.
Конструкция: ведущий коленчатый вал с кривым шипом, ведомый шатун, ползун.

Применяется для преобразования вращательного движения в качающееся движение кулис.
Конструкция: ведущий диск, ползун, ведомая кулиса.
Применяется в бетононасосах.

Мальтийский механизм применяется для преобразования непрерывного вращающегося движения в прерывистое вращающееся движение.
Конструкция: ведущий диск с рычагом, ведомая мальтисса.

Храпповой механизм применяется для преобразования вращательного движения в прерывистое вращательное движение, но с остановкой и торможением.
Конструкция: ведущий элемент - храпповик, ведомый - собачка (остановочный элемент).

Приводы для осуществления прямолинейного движения рабочих органов станков могут быть разбиты на механические, преобразующие вращательное движение в прямолинейное (рис 20, а-е), поршневые (рис 20, ж, з), магнитострикционные и термодинамические.

Механические приводы разделяются на реверсируемые и циклического действия. В реверсируемых приводах направление движения рабочего органа меняется при изменении направления вращения звена, преобразующего вращательное движение в прямолинейное, с помощью реверсивного привода вращательного движения.

Реверсируемые приводы состоят из привода вращательного движения I (рис 20, а) с механизмом реверса 2 и звена, преобразующего вращательное движение в прямолинейное перемещение рабочего органа 4. Для преобразования вращательного движения в прямолинейное могут быть использованы: винт 3 (рис 20, а), червяк 2 и червячная рейка (рис 20б), прямозубое, косозубое или шевронное реечное колесо 2 сцепляющееся с рейкой 1 (рис 20в), червяк или косозубое колесо 2, с осью расположенной под углом к направлению движения сцепляющееся с рейкой 1 (рис 20г) и гибкая передача 2 (рис 20д).

Рис. 20 Механизмы для прямолинейного движения

В зависимости от характера движения рабочего органа привод вращательного движения должен обеспечивать изменение скорости хода в соответствии с заданным режимом работы, изменение направления движения рабочего органа, получение быстрого хода в обоих или в одном направлении. В зависимости от требований, обусловленных характером движения рабочего органа, привод вращательного движения имеет более или менее сложную структуру механизмов для изменения скорости рабочих ходов, механизмов реверса и быстрых ходов, а также соответствующую систему механизмов переключения кинематических цепей и управления. Все это приводит к более или менее значительному усложнению конструкции приводов прямолинейного движения.

Важным достоинством реверсируемых приводов является возможность настройки длины хода и последовательности включения быстрых и рабочих ходов в соответствии с требованиями конкретной технологической операции, чем обусловливается применение этих приводов на универсальных и специализированных станках.

Следует заметить, что реверсируемые приводы пригодны при любой максимальной длине хода рабочего органа.

Плавность хода, точность перемещения, жесткость и к. п. д. реверсируемого привода в значительной мере зависят от формы передачи, применяемой для преобразования вращательного движения в прямолинейное.

На плавности хода и точности сказываются кинематическая точность и зазоры в передаче, преобразующей вращательное движение в прямолинейное.

Рассмотрим различные передачи, используемые для преобразования вращательного движения в прямолинейное в реверсивных приводах.

Передача винт-гайка (рис 20, а) может быть выполнена с особо высокой точностью. По нормали станкостроения для винтов нулевого класса допускаемые отклонения шага в пределах одного шага равны ±2 мк, а наибольшая накопленная ошибка шага на длине 300 мм равна 5 мк. Высокая точность изготовления обеспечивает при соответствующей конструкции привода высокую точность перемещений.

Так как передача винт-гайка позволяет получить низкую скорость прямолинейного движения при сравнительно большом числе оборотов винта, кинематические цепи приводов подачи и установочных перемещений при использовании этой передачи состоят из небольшого числа понижающих передач, что приводит к упрощению кинематики и конструкции привода и к уменьшению его приведенного момента инерции по сравнению с другими механическими приводами.

Так как жесткость передачи винт-гайка определяется деформациями растяжения или сжатия, а также (в меньшей степени) деформациями кручения, то при большой длине винта и малом диаметре жесткость передачи может оказаться недостаточной, что отрицательно сказывается на плавности и точности перемещений.

Существенным недостатком описываемой передачи является низкий к. п. д. Этот недостаток может быть устранен при использовании передачи винт-гайка с циркулирующими шариками в гайке. В этом случае трение скольжения заменяется трением качения, и к. п. д. возрастает до 0,9-0,98. Передачи этого типа находят все более широкое применение в станках и в первую очередь в различного рода следящих приводах.

Передачи винт-гайка широко используются в кинематических профилирующих цепях, приводах подачи и установочных перемещений, где при малой мощности приводов к. п. д. не имеет существенного значения, а положительные особенности данной передачи играют существенную роль.

В тех случаях, когда передача винт-гайка не может быть выполнена достаточно жесткой, применяют червячно-реечную передачу (рис 20б), рейка которой представляет собой как бы часть гайки большой длины. Так как длинный винт сравнительно небольшого диаметра заменен коротким червяком, то жесткость передачи оказывается значительно выше. Однако точность червячно-реечной передачи ниже передачи винт-гайка, так как червячная рейка может быть изготовлена только составной из отдельных кусков и не может быть выполнена с такой же высокой точностью как винт. К. п. д. этой передачи также ниже, так как диаметр червяка в силу конструктивных особенностей его размещения значительно больше диаметра винта, что приводит к снижению угла подъема и, следовательно, к. п. д. передачи.

Червячно-реечные передачи используются в тех случаях, когда для обеспечения плавности хода требуется высокая жесткость привода, а к точности перемещений предъявляются не столь жесткие требования: в механизмах подачи продольнофрезерных, расточных, карусельных и некоторых других видов станков.

Зубчато-реечная передача (рис 20, в) вследствие большей величины ошибок в шаге и зазоров по сравнению с передачей винт-гайка дает меньшую плавность хода и точность перемещения. Передача обладает высоким к. п. д. и сравнительно высокой жесткостью, применяется в приводах главного движения строгальных станков и в приводах подач токарных, револьверных, сверлильных, расточных и других станков.

В приводах главного движения строгальных станков реечная шестерня имеет большой диаметр, благодаря чему увеличивается коэффициент продолжительности зацепления и плавность хода. С этой же целью в приводах строгальных станков применяются косозубые и шевронные шестерни. Благодаря большому диаметру реечной шестерни в приводы приходится вводить большое число понижающих передач, что приводит к увеличению приведенного момента инерции привода.

В приводах подач реечная шестерня выполняется с малым числом зубцов 12-13. Для устранения подрезания зубьев применяют коррекцию.

В приводах продольнострогальных станков значительное распространение нашли реечные передачи, представленные на рис 20, г. Они выполняются с многозаходным червяком (косозубой шестерней с небольшим числом зубьев и большим углом наклона). Такие передачи имеют сравнительно высокий к. п. д., обеспечивают плавность хода и уменьшение числа понижающих передач в приводе.

В отдельных моделях станков для преобразования вращательного движения в прямолинейное применяются гибкие связи (рис 20д). К диску 1 прикреплена гибкая связь 2. В качестве гибкой связи может быть использована стальная лента, проволока, трос. С другой стороны связь прикреплена к поводку 3 рабочего органа 4. При повороте диска 1 рабочий орган перемещается прямолинейно. Гибкие связи в форме стальной ленты и проволоки обеспечивают при небольших нагрузках высокую точность перемещения и используются в механизмах обкатки различных зубообрабатывающих станков: зубошлифовальных, для строжки конических зубчатых колес и др.

В приводах циклического действия в отличие от реверсивных направление движения рабочего органа изменяется с помощью самого звена, преобразующего вращательное движение в прямолинейное, при этом направление вращения последнего звена остается неизменным.

К числу приводов циклического действия относятся кривошипные, кривошипно-кулисные и кулачковые" механизмы.

Кривошипные и кривошипно-кулисные приводы могут выполнять только некоторые из функций, которые возлагаются на привод прямолинейного движения.

Так, кривошипный привод выполняет только функции реверсивного механизма при изменении направления движения. Скорости прямого и обратного хода одинаковы и переменны по длине хода. Длина хода изменяется путем изменения радиуса кривошипа. При большой длине хода механизм становятся громоздким. Данный механизм находит ограниченное применение при малой длине хода 100-300 мм в приводах главного движения зубодолбежных и зубострогальных станков, где увеличение скорости обратного хода не дает заметного повышения производительности, в приводах подачи пазо- и шпоночнофрезерных станков. Кривошипно-кулисный механизм позволяет получить повышенную скорость обратного хода, которая является функцией рабочего хода и сравнительно незначительно превышает ее. Скорость по длине хода переменная. Механизмы этого типа с качающейся и вращающейся кулисой применяются в поперечнострогальных и долбежных станках при длине хода до 900-1000 мм.

Кулачковые механизмы (рис 20, ё) выполняют все функции привода прямолинейного движения за счет придания соответствующего профиля кулачку. Цилиндрический кулачок 1 с криволинейным пазом, в который входит ролик, прикрепленный к подвижному рабочему органу 2 на участке а имеет крутой подъем, соответствующий быстрому ходу вперед, на участке б - пологий подъем, соответствующий рабочему ходу, и на участке в - крутой спуск, соответствующий быстрому ходу назад. Таким образом, с помощью кулачкового механизма может быть легко осуществлена требующаяся последовательность движения рабочего органа с заданной скоростью и длиной хода, благодаря чему кулачковые механизмы находят широкое применение в станках-автоматах. Недостатком кулачковых механизмов является необходимость изготовления специальных кулачков применительно к конкретной технологической операции.

Поршневые приводы прямолинейного движения. При поршневых приводах (рис 20ж) рабочий орган 2 в большинстве случаев связывается непосредственно с подвижным поршнем 1 или цилиндром поршневого привода, что позволяет значительно упростить всю кинематику и конструкцию соответствующего узла станка. Лишь в отдельных случаях при осуществлении особо точных перемещениях и небольшой длине ходов рабочих органов вводятся промежуточные понижающие передачи от поршневого привода к рабочему органу (рис 20з).

Вследствие простоты конструкции поршневые приводы различного типа находят значительное распространение в станках.

Наиболее распространенными механизмами преобразования вращательного движения в прямолинейное являются знакомые нам по рис. 1 кривошипно-шатунный и по рис. 7, д - реечный, а также винтовой, эксцентриковый, кулисный, храповой и другие механизмы.

Винтовые механизмы

Винтовые механизмы широко применяются в самых разнообразных машинах для преобразования вращательного движения в поступательное и, наоборот, поступательного во вращательное. Особенно часто винтовые механизмы применяются в станках для осуществления прямолинейного вспомогательного (подача) или установочного (подвод, отвод, зажатие) движения таких сборочных единиц, как столы, суппорты, каретки, шпиндельные бабки, головки и т. д.
Винты, применяемые в этих механизмах, называются ходовыми. Часто также винтовой механизм служит для подъема грузов или вообще для передачи усилий. Примером такого применения винтового механизма является использование его в домкратах, винтовых стяжках и т. д. В этом случае винты будут называться грузовыми. Грузовые винты обычно работают с незначительными скоростями, но с большими усилиями по сравнению с ходовыми винтами.

Основными деталями винтового механизма являются винт и гайка.

Обычно в винтовых механизмах (передачах винт-гайка) движение передается от винта к гайке, т. е. вращательное движение винта преобразуется в поступательное движение гайки, например механизм поперечного перемещения суппорта токарного станка. Встречаются конструкции, когда движение передается от гайки к винту, и винтовые передачи, в которых вращение винта преобразуется в поступательное того же винта, при закрепленной неподвижно гайке. Примером такого механизма может служить винтовая передача верхней части стола (рис. 9, а) фрезерного станка. При вращении рукояткой 6 винта 1 в гайке 2, закрепленной винтом 3 в салазках 4 стола,5, винт 1 начинает двигаться поступательно. Вместе с ним движется по направляющим салазок стол 5.

Эксцентриковые и кулачковые механизмы

Схема эксцентрикового механизма показана на рис. 9, б. Эксцентрик представляет собой круглый диск, ось которого смещена относительно оси вращения вала, несущего диск. Когда вал 2 вращается эксцентрик 1 воздействует на ролик 3, перемещая его и связанный с ним стержень 4 вверх. Вниз ролик возвращается пружиной 5. Таким образом, вращательное движение вала 2 преобразуется эксцентриковым механизмом в поступательное движение стержня 4.

Кулачковые механизмы широко применяются в станках-автоматах и других машинах для осуществления автоматического цикла работы. Эти механизмы могут быть с дисковым цилиндрическим и торцовым кулачками. Показанный на рис. 9, в механизм представляет собой кулачок 1 с канавкой 2 сложной формы на торце, в кoторую помещен ролик 3, соединенный с ползуном 4 посредством стержня 5. В результате вращения кулачка 1 (на разных его участках) ползун 4 получает разную скорость прямолинейного возвратно-поступательного движения.

Кулисный механизм

На рис. 9, г представлена схема кулисного механизма , широко применяемого, например, в поперечно-строгальных и долбежных станках. С ползуном 1, на котором закреплен суппорт с режущим инструментом, шарнирно связана при помощи серьги 2 качающаяся влево и вправо деталь 4, называемая кулисой. Внизу кулиса соединена посредством шарнирного соединения 6, причем своим нижним концом она поворачивается около этой оси во время качаний.

Качания кулисы происходят в результате поступательно-возвратных перемещений в ее пазу детали 5, называемой кулисным камнем и получающей движение от зубчатого колеса 3, с которым она соединена. Зубчатому колесу 3, называемому кулисной шестерней, вращение передается колесом, закрепленным на ведущем валу. Скорость вращательного движения кулисного колеса регулируется коробкой скоростей, связанной с электродвигателем.

Длина хода ползуна зависит от того, в каком виде установлен на кулисной шестерне кулисный камень. Чем дальше от центра шестерни расположен кулисный камень, тем больше окружность, которую он описывает при вращении шестерни, и, следовательно, тем больше угол качания кулисы и длиннее ход ползуна. И наоборот, чем ближе к центру колеса установлен кулисный камень, тем меньше все перечисленные движения.

Храповые механизмы

Храповые механизмы позволяют в широком диапазоне изменять величину периодических перемещений рабочих органов машин. Типы и область применения храповых механизмов разнообразны.

Храповой механизм (рис. 10) состоит из четырех основных звеньев: стойки 1, храповика (зубчатого колеса) 4, рычага 2 и детали 3 с выступом, которая носит название собачки. Храповик со скошенными в одну сторону зубьями насажен на ведомый вал механизма. На одной оси с валом шарнирно закреплен рычаг 2, поворачивающийся (качающейся) под действием приводной штанги 6. На рычаге также шарнирно укреплена собачка, выступ которой имеет форму, соответствующую впадине между зубьями храповика.

Во время работы храпового механизма приходит в движение рычаг 2, Когда он движется вправо, собачка свободно скользит по закругленной части зуба храповика, затем она под действием своей силы тяжести или специальной пружины заскакивает во впадину и, упираясь в следующий зуб, толкает его вперед. В результате этого храповик, а с ним и ведомый вал поворачиваются. Обратный поворот храповика с ведомым валом при холостом ходе рычага с собачкой 3 предотвращается стопорной собачкой 5, шарнирно закрепленной на неподвижной оси и прижатой к храповику пружиной.

Описанный механизм преобразует качательное движение рычага в прерывисто-вращательное движение ведомого вала.

Передачей называют техническое приспособление для передачи того или иного вида движения от одной части механизма к другой. Передача происходит от источника энергии к месту ее потребления или преобразования. Первые передаточные механизмы были разработаны в античном мире и использовались в системах орошения Древнего Египта, Междуречья и Китая. Средневековые механики значительно усовершенствовали устройства, передающие движение, и разработали множество новых видов, используя и в прялках и гончарном деле. Подлинный же расцвет начался в Новое время, с внедрением технологий производства и точной обработки стальных сплавов.

В различных станках, бытовых приборах, транспортных средствах и других механизмах используют разнообразные виды передач.

Обычно различают следующие виды передачи:

вращательного движения;
прямолинейного или возвратно-поступательного;
движения по определенной траектории.

Самым широко применяемым типом механических передач являются вращательные.

Особенности зубчатого механизма

Такие механизмы предназначены для того, чтобы передавать вращение от одного зубчатого колеса к другому, используя зацепление зубцов. У них относительно малые потери на трение по сравнению с фрикционами, поскольку плотный прижим колесной пары друг к другу не нужен.

Пара шестерен преобразует скорость вращения вала обратно пропорционально соотношению числа зубцов. Это соотношение называют . Так, колесо с пятью зубьями будет вращаться в 4 раза быстрее, чем состоящее с ним в зацеплении 20-зубое колесо. Крутящий момент в такой паре уменьшится также в 4 раза. Это свойство используют для создания редукторов, понижающих скорость вращения с возрастанием крутящего момента (или наоборот).

Если необходимо получить большое передаточное число, то одной пары шестерен может быть недостаточно: редуктор получится очень больших размеров. Тогда применяют несколько последовательных пар шестерен, каждую с относительно небольшим передаточным числом. Характерным примером такого вида является автомобильная коробка передач или механические часы.

Зубчатый механизм способен также изменять направление вращения приводного вала. Если оси лежат в одной плоскости — применяют конические шестерни, если в разных- то передачу червячного или планетарного вида.

Для реализации движение с определенным периодом на одной из шестерен оставляют один (или несколько) зубец. Тогда вторичный вал будет перемещаться на заданный угол только каждый полный оборот ведущего вала.

Если развернуть одну из шестерен на плоскость – получится зубчатая рейка. Такая пара может преобразовывать вращательное движение в прямолинейное.

Параметры зубчатой передачи

Для того чтобы шестерни входили в зацепление и эффективно передавали движение, необходимо, чтобы зубья точно совпадали между собой по профилю. Регламентированы основные параметры, используемые при расчете:

Диаметр начальной окружности.
Шаг зацепления — расстояние между соседними зубцами, определенное вдоль линии начальной окружности.
Модуль. – Отношение шага к константе π. Шестерни с равным модулем всегда входят в зацепление, независимо от количества зубцов. Стандартом предписывается допустимый ряд значение модулей. Через модуль выражаются все основные параметры шестерни.
Высота зуба.

Важными параметрами также являются высота головки и основания зуба, диаметр окружности выступов, угол контура и другие.

Преимущества

Передачи зубчатого вида обладают рядом очевидных достоинств. Это:

преобразование параметров движения (число оборотов и крутящий момент) в широких пределах;
высокая отказоустойчивость и ресурс работы;
компактность;
малые потери и большой коэффициент полезного действия;
небольшие нагрузки на оси;
стабильность передаточного числа;
несложное обслуживание и ремонт.

Недостатки

Зубчатым механизмам свойственны и определенные минусы:

При изготовлении и сборке требуется высокая точность и специальная обработка поверхностей.
Неизбежный шум и вибрация, особенно при высоких оборотах или больших усилиях
Жесткость конструкции приводит к поломкам при стопорении ведомого вала.

При выборе вида передачи конструктор сопоставляет преимущества и недостатки для каждого конкретного случая.

Механические передачи

Механические передачи служит для того, чтобы передать вращение от ведущего вала к ведомому, от места генерации механической энергии (обычно — двигатель того или иного типа) к месту ее потребления или преобразования.

Как правило, двигатели вращают свой вал с ограниченным пределом изменения числа оборотов и крутящего момента. Потребителям же требуются более широкие диапазоны.

По методу передачи механической энергии среди передач различают следующие виды:

зубчатые;
винтовые;
гибкие.
фрикционные.

Зубчатые передающие механизмы, в свою очередь, подразделяются на такие виды, как:

цилиндрические;
конические;
профиль Новикова.

По соотношению скорости вращения ведущего и ведомого валов различают редукторы (снижающие обороты) и мультипликаторы (увеличивающие обороты). Современная механическая коробка передач для автомобиля объединяет в себе оба вида, являясь одновременно и редуктором, и мультипликатором.

Функции механических передач

Главная функция механических передач — это предать кинетическую энергию от ее источника к потребителям, рабочим органам. Помимо главной, передаточные механизмы выполняют и дополнительные функции:

Изменение числа оборотов и крутящего момента. При постоянном количестве движения изменения этих величин обратно пропорциональны. Для ступенчатого изменения применяют сменные зубчатые пары, для плавного подходят ременные или торсионные вариаторы.
Изменение направления вращения. Включает как обычный реверс, так и изменение направления оси вращения с помощью конических, планетарных или карданных механизмов.
Преобразование видов движения. Вращательного в прямолинейное, непрерывного в циклическое.
Раздача крутящего момента между несколькими потребителями.

Механические передачи выполняют и другие вспомогательные функции.

Машиностроителями принято несколько классификаций в зависимости от классифицирующего фактора.

По принципу действия различают следующие виды механических передач:

зацеплением;
трением качения;
гибкими звеньями.

По направлению изменения числа оборотов выделяют редукторы (снижение) и мультипликаторы (повышение). Каждый из них соответственно изменяет и крутящий момент (в обратную сторону).

По числу потребителей передаваемой энергии вращения вид может быть:

однопотоковый;
многопотоковый.

По числу этапов преобразования – одноступенчатые и многоступенчатые.

По признаку преобразования видов движения выделяют такие типы механических передач, как

Вращательно-поступательные. Червячные, реечные и винтовые.
Вращательно-качательные. Рычажные пары.
Поступательно-вращательные. Кривошипно-шатунные широко применяются в двигателях внутреннего сгорания и паровых машинах.

Для обеспечения движения по сложным заданным траекториям используют системы рычагов, кулачков и клапанов.

Основные показатели для выбора механических передач

Выбор типа передачи — сложная конструкторская задача. Нужно подобрать вид и спроектировать механизм, наиболее полно удовлетворяющий техническим требованиям, сформулированным для данного узла.

При выборе конструктор сопоставляет следующие основные факторы:

опыт предшествующих аналогичных конструкций;
мощность и момент на валу;
число оборотов на входе и на выходе;
требуемый К.П.Д.;
массогабаритные характеристики;
доступность регулировок;
плановый эксплуатационный ресурс;
себестоимость производства;
стоимость обслуживания.

При высоких передаваемых мощностях обычно выбирают многопоточный зубчатый вид. При необходимости регулировки числа оборотов в широком диапазоне разумно будет выбрать клиноременной вариатор. Конечное решение остается за конструктором.

Цилиндрические передачи

Механизмы такого вида выполняют с внутренним или с внешним зацеплением. Если зубья расположены под углом к продольной оси, шестерню называют косозубой. По мере увеличения угла наклона зубцов прочность пары повышается. Зацепление косозубого вида также отличается лучшей износостойкостью, плавностью хода и низким уровнем шума и вибраций.

Если необходимо изменить направление вращения, а оси валов лежат в одной плоскости, применяют конический тип передачи. Наиболее распространенный угол изменения – 90°.

Такой тип механизма более сложен в изготовлении и монтаже и, также как и косозубый, требует укрепления опорных конструкций.

Конический механизм может передать до 80% мощности по сравнению с цилиндрическим.

Реечная и ременная зубчатая передача

Стандарты

Основные параметры различных видов передач нормируются соответствующими ГОСТами:

Зубчатые цилиндрические: 16531-83.
Червячные 2144-76.
Эвольвентные 19274-73.

Скачать ГОСТ 16531-83

Плоский шарнирный механизм - это система, составленная из твердых звеньев, соединенных между собой подвижными шарнирами , которые позволяют звеньям поворачиваться друг относительно друга в одной плоскости. Разнообразные шарнирные механизмы повсеместно используются в технике.

Обычно их цель - преобразовать движение одних звеньев в требуемое движение других звеньев. В простейшем и, пожалуй, самом важном случае нужно преобразовать вращательное движение в возвратно-поступательное, а лучше - в прямолинейное. С такой задачей столкнулся Джеймс Ватт, работая над усовершенствованием своей паровой машины. Ему совсем прямолинейное движение не требовалось, и он нашел подходящее для себя решение. Но вопрос о том, как получить из вращательного движения строго прямолинейное, остался, и на поиск ответа ушло еще около ста лет. Вам же предлагается решить эту задачу за несколько дней.

Итак, нужно придумать шарнирный механизм из нескольких звеньев - такой, что если двигать конец какого-то одного звена по окружности, то конец другого звена будет двигаться по прямой. Ограничивать свободу движения звеньев любым другим способом, кроме шарнирных соединений, нельзя (например, нельзя использовать направляющие).

Подсказка

Неожиданным образом эта механическая задача оказывается тесно связанной с геометрией. Дело в том, что инверсия относительно данной окружности Ω с центром О переводит любую окружность, которая проходит через точку О , в прямую (разные окружности переходят в разные прямые).

Напомним, что инверсия относительно данной окружности Ω с центром О - это преобразование плоскости, при котором точке А , отличной от О , ставится в соответствие такая точка А" на луче ОА , что выполнено равенство ОА ·ОА" = R 2 , где R - радиус окружности Ω. Из этого определения сразу видно, например, что инверсия оставляет точки окружности Ω на месте. Упомянутое выше свойство менее очевидно, но при решении задачи им можно пользоваться.

Осталось создать систему из нескольких звеньев с шарнирными соединениями, в которой бы конец одного звена был инверсным образом конца другого звена. Тогда ровно по этому свойству получим, что круговое движение одной точки перейдет в прямолинейное движение другой точки.

Решение

Рассмотрим систему, показанную на рисунке 1. Она состоит из шести звеньев, два из которых имеют одну длину (ОА и ОС ), а четыре - другую (на рисунке звенья одной длины покрашены одним цветом). В такой системе точки В и D являются инверсными образами друг друга относительно некоторой окружности с центром в точке О . Покажем это.

Для начала заметим, что точки О , В и D лежат на одной прямой. В самом деле, из рисунка видно, что треугольники ОАС , ВАС и DAC - равнобедренные с общим основанием АС . Поэтому их вершины О , В и D лежат на одной и той же прямой - срединном перпендикуляре к АС .

Теперь покажем, что значение произведения ОВ·OD не зависит от положения точек в системе, а зависит только от длин звеньев. А поскольку эти длины не меняются, то это означает, что и произведение не меняется, - ровно то, что нам нужно по определению инверсии (см. подсказку).

В ромбе ABCD проведем диагонали (рис. 2). Пусть Р - точка их пересечения. Как известно, диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам, - это нам сейчас пригодится. Обозначим x = BP = PD . Тогда

ОВ·OD = (ОР − ВР )·(ОР + PD ) = (ОР − x )·(ОР + x ) = OP 2 − x 2 .

По теореме Пифагора для треугольника ОРА : ОР 2 = ОА 2 − АР 2 , а для треугольника ВАР : АР 2 + х 2 = АР 2 + ВР 2 = АВ 2 .

Используя последние два равенства, получаем, что

ОВ·OD = OP 2 − x 2 = ОА 2 − АР 2 − x 2 = ОА 2 − (АР 2 + x 2) = ОА 2 − АВ 2 .

То есть действительно произведение ОВ·OD выражается только через постоянные в данной конструкции величины, а значит, и само это произведение не меняется. Как нетрудно догадаться, радиус окружности, относительно которой делается инверсия, равен квадратному корню из выражения в правой части последней цепочки равенств.

Осталось добавить в рассмотренную систему еще одно звено, которое бы обеспечивало движение точки В по окружности, проходящей через О , и тогда точка D будет двигаться по прямой, как видно из видео, на котором этот механизм показан в движении: