Numbrite esitamise komplekti ühised elemendid. Esitluse esimene slaid: elemendid ja komplektid. Tehingud komplektidega ja nende omadused. Iseõppe ülesanne

Komplekte tähistatakse tavaliselt suurtega
tähed: A, B, X N, ... ja nende elemendid -
vastavad väikesed tähed: a, b, x, n ...
Eelkõige võetakse vastu järgmised nimetused:
ℕ - loodusarvude hulk;
ℤ - täisarvude hulk;
ℚ - ratsionaalsete arvude hulk;
ℝ - reaalarvude hulk (numbriline
sirge).
- kompleksarvude komplekt. Ja õige
järgnev:
N Z Q R C

Reeglina tähistatakse hulga elemente
väikeste tähtedega ja komplektid ise - suurtena.
Kuuluvus
element
m
paljusus
M
tähistatud kui: m M, kus märk on
kreeka sõna esimese tähe stiliseerimine
(on, ole),
mittekuuluvuse märk:

Komplektid võivad olla piiratud, lõpmatud ja
tühi.
Lõpliku hulga elemente sisaldav komplekt,
nimetatakse lõplikuks.
Kui komplekt ei sisalda ühtegi elementi, siis
seda nimetatakse tühjaks ja tähistatakse Ø-ga.
Näiteks:
palju 1. kursuse üliõpilasi - piiratud komplekt;
palju tähti universumis - lõpmatu
palju;
palju
õpilased,
hästi
asjatundlik
kolm
võõras
keel
(Jaapani,
Hiina keel
ja
Prantsuse keel) on ilmselt tühi komplekt.

Komplektide määratlemise meetodid

Komplektide määratlemiseks on kolm võimalust:
1) komplekti kirjeldus
Näited: Y \u003d (yΙ1≤y ≤10) - y-väärtuste hulk alates
segmendis
X \u003d (xIx\u003e 2) on kõigi arvude x hulk, mis on suurem kui 2.
2) komplekti loendamine
Näited:
A \u003d (a, b, c) - kolm vene algustähte
tähestik
N \u003d (1,2,3 ...) -numbrilised arvud
3) komplektide graafiline seadistamine toimub koos
kasutades Euler-Venni diagramme

Esitatakse kaks komplekti:
ja
Kui komplekti elemente on vähe, siis
neid saab skeemil selgesõnaliselt näidata.

Hulka A nimetatakse hulga B alamhulgaks
(tähistatud AB-ga), kui mõni element on olemas
komplekt A on hulga B element:
vt joonis 1.1
Joon. 1.1
Öeldakse, et B sisaldab A või B katab A
Hulga C lisamata jätmine komplekti B,
tähistatud järgmiselt:

Hulgad A ja B on võrdsed (A \u003d B) ainult siis
millal, AB ja BA, s.t komplektide elemendid
A ja B on samad.
Näide: A \u003d (1,2,3), B \u003d (3,2,1), C \u003d (1,2,3,3) - on võrdsed.
Hulk C on komplekt A, ainult selles
punkt 3 kirjutatakse kaks korda.
Näide: A \u003d (1,2), B \u003d (1,2,3) - EI VÕRDNE
Komplektide perekond on komplekt
mille elemendid on ise komplektid.
Näide: A \u003d ((Ø), (1,2), (3,4,5)) - perekond, mis koosneb
kolmest komplektist.
Igal tühjal alamhulgal A has Ø on
vähemalt kaks erinevat alamhulka: mina
komplekt A ja Ø.

Palju
JA
helistas
oma
komplekti B alamhulk, kui AB, ja B A.
See on tähistatud järgmiselt: A B.
Näiteks,
On üldtunnustatud, et tühi komplekt on
mis tahes hulga alamhulk.
Lõpliku hulga M kardinaalsus on arv
selle elemendid. Tähistatakse tähega M
Näiteks B \u003d 6. A \u003d 3.

Määra toimingud

Hulkade A ja B liit (summa)
(tähistatud AB-ga) nimetasid hulgaks C neid
elemendid, millest igaüks kuulub küll
ühele komplektist A või B. Võimalikke on kolm
juhtum:
1) A \u003d B;
2) komplektidel on ühised elemendid;
3) komplektidel pole ühiseid elemente.
Näited:
1) A \u003d (1,2,3), B \u003d (1,2,3), siis A B \u003d (1,2,3).

A B \u003d (1,2,3,4,5,6)
3) A \u003d (1,2,3), B \u003d (4,6,8), siis A B \u003d (1,2,3,4,6,8)

Vaadeldud juhtumid on selgelt
illustreeritud joonisel
A, B
JA
IN
JA
IN

Hulkade A ja B ristumiskoht
nimetatakse uut komplekti C,
mis koosneb ainult elementidest
üheaegselt
komplektid A, B
Nimetus C \u003d A B
Võimalik on kolm juhtumit:
1) A \u003d B
2) komplektidel on ühised elemendid
3) komplektidel pole ühist
elemendid.

Näited:
1) A \u003d (1,2,3), B \u003d (1,2,3), siis A B \u003d
{1,2,3}.
2) A \u003d (1,2,3), B \u003d (2,3,4,5,6), siis
A B \u003d (2,3)
3) A \u003d (1,2,3), B \u003d (4,6,8), siis A B \u003d

Hulgade A ja B erinevust nimetatakse
elementidest koosnev komplekt C
mis kuuluvad ainult hulka A ja
ei kuulu V.
Nimetus: C \u003d A \\ B

Esitatakse kaks komplekti:
A \u003d (1,2,3, b, c, d), B \u003d (2, b, d, 3).
Siis:
A B \u003d (1,2,3, b, c, d)
B alamhulk A
A / B \u003d (1, c)
A B \u003d (2,3, b, d)

Omadused:
1. Liidu kommutatiivsus А B \u003d B A
2. Ristmiku kommutatiivsus А В \u003d В А
3. Kombineeritud seadus A (B C) \u003d B (A C)
4. Sama ka ristmiku kohta.
5. Jaotuskast ristmiku suhtes
A (B C) \u003d A B A C
6. Ühenduse osas levitamine
A (B C) \u003d (A B) (A C)
7. Neeldumisseadus A (A B) \u003d A
8. Neeldumisseadus А (А B) \u003d A
9. A A \u003d A
10. A A \u003d A

A ja B ristkülikukujuline (otsene) korrutis on
uus komplekt C, mis koosneb järjestatud
paarid, millest on võetud paari esimene element
komplekt A ja teine \u200b\u200bB-st.
A \u003d (1,2,3)
B \u003d (4,5)
C \u003d AB \u003d ((1,4); (1,5); (2,4); (2,5); (3,4); (3,5))
Dekarteesia toote jõud on
komplektide A ja B kardinalite korrutis:
A B \u003d A ∙ B

A B ≠ B A, välja arvatud juhul, kui A \u003d B (antud juhul
võrdsus kehtib)
Arvestades:
Koordinaadi arvtelg Х.х (-, +).
Koordinaadi arvtelg Y.y (-, +).
D \u003d X Y
Kahe telje ristkülikukujuline korrutis - punkt
pinnal.
Mõelge Dekareesia tootele,
millel on vara
vahetatavus. A \u003d (Ivanov, Petrov)
B \u003d (pikk, õhuke, tugev)
A B \u003d Ivanov on pikk, Ivanov on õhuke,
Ivanov on tugev, Petrov on pikk, Petrov
õhuke, Petrov tugev

2. slaid

Loomulikud arvud ja nendega seotud toimingud Jagatavus. Põhi- ja liitarvud Suurim ühisjagaja ja kõige vähem ühine mitu ülesannet Hulgi mõiste, ristumiskoht ja hulkade liit Monomiaalid ja polünoomid Polünoomi teguriteks tegemine Lühendatud korrutamisvalemid Mõelge ja lahendage probleemid

3. slaid

Looduslikke numbreid kasvavas järjekorras saab kirjutada jadana 1, 2, 3, 4, ... Kõigi looduslike arvude kogumit tähistatakse N. Looduslike arvude puhul aritmeetilised toimingud (liitmine, lahutamine, korrutamine ja jagamine), astendamine (arv a kraadides n ja n on arvu a korrutamise tulemus iseenda n-kordselt), pöördvõrdeline tehing võimule tõstmiseks eraldab juure (b \u003d ⁿ√а, kui a \u003d bⁿ) Liitmine ja korrutamine rahuldada nihkeseadus (kommutatiivsuse seadus): a + b \u003d b + a, ab \u003d ba ja kombinatsiooniseadus (assotsiatiivsuse seadus): (a + b) + c \u003d a + (b + c), (ab) c \u003d a (bc), samuti jaotusseadus (jaotav): (a + b) c \u003d a c + b c looduslikud arvud ja nendega seotud toimingud 1 2 3 4 5

4. slaid

JAGUVUS. LIHTSAD JA KOMPOSITSED NUMBRID. Numbri a jagamine arvuga b tähendab sellise x, a leidmist: b \u003d x, et xb \u003d a. Kui selline arv on olemas, siis nad ütlevad, et a jagub b-ga ja arvu b nimetatakse arvu a jagajaks. 2-ga (või 5-ga) jagatakse need ja ainult need numbrid, mille viimane number väljendab 2-ga (või 5-ga) jagatavat arvu. 4-ga (või 25-ga) jagatakse need ja ainsad numbrid, mille kaks viimast numbrit väljenda arv, mis jagub 4-ga (või 25-ga). Need ja ainult need arvud, mille numbrite summa jagub 3-ga (või 9-ga), jagub 3-ga (või 9-ga). Need ja ainult need arvud, mille vahe paarisarvudel seisvad numbrid jagunevad 11 kohaga ja paaritu kohtades olevate numbrite summa jagub 11-ga. Numbrit a, välja arvatud 1, nimetatakse algarvuks, kui jagajateks on ainult üks ja number a ise. Arvu a, millel on teisi jagajaid, nimetatakse liitühenduseks. Mis tahes liitnumbrit saab esitada algarvude korrutisena, näiteks: 12 \u003d 2, 2, 3, 3, 2, 3.

5. slaid

GCD ja LCM Arvu ja b ühiste jagajate hulgast saate valida GCD suurima jagaja (a; b). Näiteks gcd (45; 60) \u003d 15. Kui gcd (a; b) \u003d 1, siis numbreid a ja b nimetatakse kopriimiks. Mis tahes suvaliste arvude a ja b ühisjagaja jagab nende arvude suurima jagaja. A ja b-ga jagatavat arvu nimetatakse a ja b ühiseks kordnikuks. A ja b tavaliste korrutiste hulgast saate valida kõige vähem levinud mitmekordse LCM-i (a; b). Näiteks LCM (4; 6) \u003d 12. Mis tahes suvaliste arvude a ja b ühine kordne jagub LCM-iga (a; b). Numbrid a ja b on samaaegsed ainult siis, kui LCM (a; b) \u003d a · b.

6. slaid

Leidke kahe numbri GCD: 1. 45; 135 2,84; 168 3,5; 60 Leidke kahe numbri LCM: 1. 4; 5 2. 6; 7 3. 7; 8.ülesanded

7. slaid

Hulga mõiste Üks matemaatika põhimõiste on hulga mõiste. Hulka võib mõelda kui mõne objekti kogumit (kogu), mida ühendab mingi atribuut. Komplekt on määratlemata mõiste. Hulk võib koosneda numbritest, objektidest jne. Iga komplekti kuuluvat arvu (objekti) nimetatakse hulga elemendiks. on punktide kogum 3. Asjaolu, et element a kuulub hulka A, kirjutatakse ühekohaliste numbrite hulga puhul A-na: A \u003d (0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 ; 7; 8; 9) arv 4 kuulub A-le ja number 20 ei kuulu A-le

8. slaid

Jätkumine 4. Hulki, mis ei sisalda elemente, nimetatakse tühjaks ja seda tähistatakse sümboliga Ø. 5. Kui ühe hulga A iga element on teise hulga B element, siis nad ütlevad, et komplekt A on hulga B alamhulk. Seda väljendatakse kirjutades A tähega B. 6. Hulkade A ja B lõikepunkt on a komplekt, mis koosneb elementidest, mis kuuluvad igasse andmekogumisse (joonis 1) А В С joon. üks

9. slaid

7. Hulkade A ja B liit on hulk, mis koosneb hulga A ja B kõigist elementidest ja ainult neist. Hulkade liitu tähistatakse sümboliga ں ja see on kirjutatud C \u003d A ں B \u003d (x | x € A või x € B (joonis 2) AB Küsimus: milline hulk on nende komplektide liit? A \u003d (1 ; 2; 5; 7), B \u003d (3; 5; 7; 8) 2. N \u003d (4; 7; 67; 34; 5; 2), M \u003d (7; 89; 34) 3. K \u003d (78; 89; 56; 90), P \u003d (87; 98; 65; 9)

10. slaid

mono- ja polünoomid Avaldist, mis on arvude, muutujate ja looduslike astmete korrutis, nimetatakse monomiaaliks. 2. Monomiumi aste on muutujate astmete astmete summa. Näiteks 8x³y² on viienda astme monomiaal. Ainult numbrilise koefitsiendi järgi erinevad või üksteisega võrdsed mononoomid nimetatakse sarnasteks. 3. Monoomide algebralist summat nimetatakse polünoomiks. Polünoomi aste on selles polünoomis sisalduva monomiumi suurim aste. Näiteks 1+ 2x² - 5x²y³ on viienda astme polünoom. 4. Polünoomide summa võtmisel on vaja tuua sarnased terminid (terminid). Selleks piisab, kui lisada nende koefitsiendid ja korrutada saadud arv tähestikulise avaldisega.

11. slaid

5. Polünoomide erinevuse võtmisel on vaja lahutatud polünoom panna sulgudesse, seejärel sulgud avada, muuta iga termini märk vastupidiseks ja tuua siis sarnased terminid. Näiteks (4x² - 3x + 3) - (3x² - x + 2) \u003d \u003d 4x² - 3x + 3 - 3x² + x - 2 \u003d x² - 2x + 1. 6. Polünoomi korrutamiseks monomaaliga on piisavalt, et korrutada iga polünoomi termin monomiaaliks ja lisada saadud saadused. Polünoomi jagamine monomiaalproduktiga toimub sarnase reegli järgi. 7. Polünoomi korrutamiseks polünoomiga piisab esimese polünoomi iga termini korrutamisest teise iga terminiga ja saadud tulemuste liitmisest. Näiteks 5x (x - y) + (2x + y) (x - y) \u003d \u003d 5x² - 5xy + 2x² + xy - 2xy - y² \u003d 7x2 - 6xy - y²

12. slaid

Polünoomi arvestamine faktoriga Kui sulgur asetatakse väljapoole sulgudesse, saadakse avaldis sulgudes, jagades polünoomi kõik liikmed ühise teguriga. Näiteks 3ax³ - 6a²x + 12ax² \u003d 3ax (x² - 2a + 12x) Lahendage ise: 1.ab + 2a - 3b - 6 2.3 (x - 2y) ² - 3x + 6y

13. slaid

lühendatud korrutusvalemid a 2 - b 2 \u003d (a - b) (a + b) (a + b) 2 \u003d a 2 + 2av + b 2 (a - b) 2 \u003d a 2 - 2ab + b 2

Mina Komplekti mõiste.

Hulgateooria sündis 7. detsembril 1873. Selle teooria rajajaks on saksa matemaatik ja filosoof Georg Cantor (1845-1918). Teda huvitas küsimus, millised arvud on rohkem - loomulikud või tegelikud? Ühes oma sõbrale Richard Dedekindile adresseeritud kirjas kirjutas Cantor, et ta suutis komplektide abil tõestada, et tegelikke arve on rohkem kui loomulikke. Matemaatikud peavad seda kirja dateerimise päeva hulgateooria sünnipäevaks.

Mis on ikkagi komplektid? "Palju on palju, mõeldavad ühena" (G. Kantor). Hulga mõiste on nii lihtne, igapäevaelus aktsepteeritud ja matemaatikasse kantud, et pole määratletud, kuid seda saab selgitada näidete abil: palju linnu, palju osariike, palju õpilasi. Objektid, objektid, mis moodustavad etteantud hulga, nimetatakse seda elemendid... Matemaatikas arvestatakse ainult neid komplekte, millel on selgelt määratletud omadused, koosnevad elementidest, millel on mõned ühised omadused.

Komplektide tähistamiseks on mitu võimalust. Komplekti kõik elemendid saate lokkis traksidega ümber kirjutada.

Samal ajal näeme selgelt, millistest elementidest komplekt koosneb. Kuid see tähistus on ebamugav, kui kirjeldada hulgaliselt elemente või hulki sisaldavaid komplekte, mille elementide arvu ei saa täielikult loendada, see tähendab lõpmatuid hulki. Näiteks on võimatu üles kirjutada arvude hulga kõiki elemente, mis jagunevad kümnega. Sel juhul kirjutatakse hulk järgmiselt:

.

Komplektidega töötamise mugavuse huvides on need tähistatud suure algustähega.

Kui komplektis pole elemente, siis seda nimetatakse tühi komplekt ja tähistatud tähega? ... Näiteks palju tiivulisi vaalu, seal on tühi hulk.

Komplektideks võivad olla ka komplektid ise

Olgu antud komplekt. 3. element kuulub komplekti IN, tähistatakse seda järgmiselt. Element 8 ei kuulu komplekti IN, see on näidatud.

Harjutused

II. Hulkade võrdsus.

Komplekti väga oluline omadus on see, et selles ei ole ühesuguseid elemente, õigemini, et need kõik erinevad üksteisest. See tähendab, et võite kirjutada nii palju identseid elemente kui soovite, kuid need ilmuvad ühena. See tähendab, et komplekt ei tohi sisaldada samu elemente mitmes variandis. Oletame, et oleme komplekti üles kirjutanud. Selles komplektis korratakse elementi 7 mitu korda, kuid loeme seda üheks. Seetõttu on meie arvukus selline.

Vaatleme kahte komplekti ja. Need komplektid koosnevad samadest elementidest, kuigi need on kirjutatud erinevas järjekorras. Selliseid komplekte nimetatakse võrdseteks. Nii et kaks komplektid on võrdsedkui need sisaldavad samu elemente.

Harjutused

III. Alamhulk.

Mõelge mitu päeva nädalas. Paneme selle kirja.

Nüüd valime ainult tööpäevad. Nad moodustavad hulga.

Vaatame, millises seoses komplekt R, arvestades selle elemente, komplekti suhtes S... On näha, et komplekti kõik elemendid R kuuluvad paljudesse S... Seega komplekt R on osa komplektist S või alamhulk... Seega, kui igakomplekti element R on samal ajal hulga element S, siis võime seda öelda R – alamhulkrahvahulgad S... Seda tähistatakse järgmiselt. Komplekt ise S on ka iseenda alamhulk. On väga oluline märkida, et tühi hulk on iga hulga alamhulk. Niisiis, kui peame välja kirjutama hulga kõik alamhulgad, siis kirjutame:

Harjutused

1. Antud komplektid:

1. palju JA Meie kooli 5. klassi õpilased;
2. palju IN kõik meie kooli õpilased;
3. palju PÄRAST Meie kooli 5. klassi õpilased külastavad basseini;
4. palju E kõik Novokuznetski koolilapsed;
5. palju TO meie kooli 5. matemaatikaklassi õpilased.

Kas vastab tõele, et:

1. palju JA on hulga alamhulk IN;
2. palju JA on hulga alamhulk TO;
3. palju IN on hulga alamhulk E;
4. palju TO on hulga alamhulk PÄRAST;

Kirjutage märgi I abil hulkade nimed üles sellises järjekorras, et iga järgmine komplekt oleks eelmise hulga alamhulk.

2. Komplekti jaoks kirjuta kõik selle alamhulgad üles.

IV. Paljude ristumiskoht.

Vaatleme kahte komplekti ja ... Koostame uue komplekti PÄRAST, kuhu kirjutame komplektide ühised elemendid JA ja IN... Neil on ühiseid elemente 5 ja 6, nii et. Palju PÄRAST helistas ristumine komplektid JA ja IN... Seda tähistatakse järgmiselt:

Hulkade A ja B lõikepunkt on uus hulk, mis sisaldab neid ja ainult neid elemente, mis kuuluvad üheaegselt nii hulga A kui ka komplekti B hulka.

Las olla R - paljud meie kooli matemaatikaklasside õpilased, TO - seejärel viienda klassi õpilaste komplekt (komplektide ristumiskohas) R ja TO) viiendas matemaatika klassis õpib palju õpilasi.

Hulgad ja neil puudub ühine element, seetõttu on nende ristmik tühi hulk O

Harjutused

1. Komplektid antakse. Leia); b); sisse); d).

2. Leidke, kui a); b)

V. Komplektide liit.

Võtame samad kaks komplekti ja. Nüüd koostame komplekti E järgmiselt - me kirjutame sinna elemendid, mis kuuluvad vähemalt ühte komplekti JA ja IN... Saame komplekti. Palju E nimetatakse komplektide ühendamiseks JA ja IN... Tähistatakse

Hulkade A ja B liit on uus komplekt, mis koosneb neist ja ainult nendest elementidest, mis kuuluvad vähemalt ühte hulga A või B hulka.

Harjutused

1. Komplektid antakse. Leidke: ja) ; b) ; aastal) ; r) .

2. Leidke, kas ja.

3. Komplektid antakse. Leidke: ja) ; b) ; aastal) ;
r) .

Vi. Komplektide erinevus.

Võtame juba tuttavad komplektid ja. Koostame uue komplekti F millesse kirjutame hulga elemendid JAei kuulu komplekti IN... ... Palju F nimetatakse määratud erinevuseks JA ja IN... Tähistatakse JA\ IN= F.

Kahe hulga A ja B erinevus on komplekt, mis sisaldab kõiki komplekti A elemente, mis ei kuulu komplekti B.

Oluline on märkida, et komplektide lahutamisel ei saa te neid vahetada. Erinevuse leidmisel IN\ JA uues komplektis kirjutame hulga elemendid INmis ei kuulu komplekti JA. Tähendab IN\ JA =.

Harjutused

Komplektid antakse. Leia); b); sisse); d).

Leidke ja kui ja.

Komplektid antakse. Leia); b); sisse);
d)

Vii. Euleri ringid.

Peterburi akadeemia üks suurimaid matemaatikuid Leonard Euler (1707–1783) kirjutas oma pika elu jooksul üle 850 teadusliku töö. Ühes neist ilmusid ringid, mis "sobivad väga hästi meie mõtlemise hõlbustamiseks". Neid ringe nimetatakse euleri ringid... Nende ringide abil on mugav geomeetriliselt illustreerida toiminguid komplektides. Joonistel on näidatud komplektide toimingute illustratsioonid. Saate joonistada mitte ainult ringe, vaid ka ovaali, ristkülikuid ja muid geomeetrilisi kujundeid. kutid. "Matemaatika" ringi sees M lapsi on 20, mis tähendab, et „bioloogilise” ringi selles osas, mis asub väljaspool ringi M, on biolooge, kes matemaatikaringis ei käi. Ülejäänud bioloogid, nende inimesed, on ringide ühises osas MB... Seega on matemaatika kiindunud 6 bioloogi.

Vastus. Matemaatikat armastavad 6 bioloogi .

Harjutused

1. Klassis õpib 29 õpilast. Igaüks neist õpib vähemalt ühte keelt - inglise või saksa. Inglise keelt õpib 18, saksa keelt 15 inimest. Kui palju inimesi õpib kahte keelt, saksa ja inglise keelt?
2. Klassis õpib 29 õpilast. Neist 16 tegeleb muusikaga, 21 käib matemaatikaringis; 4 ei õpi muusikat ega käi matemaatikatunnis. Kui palju õpilasi käib ainult matemaatikatunnis? Kui palju matemaatikuid õpib ka muusikat?
3. Pioneerilaagris on 70 last. Neist 27 tegelevad draamaklubiga, 32 laulavad kooris, 22 on spordihuvilised. Draamaklubis on 10 last koorist, kooris 6 ja draamaklubis 8 sportlast; Nii draamaklubis kui ka kooris käib 3 sportlast. Kui palju lapsi ei laula, ei tegele spordiga, ei käi draamaklubis? Kui palju tüüpe tegeleb ainult spordiga?
4. Klassis on 38 inimest. Neist 16 inimest mängib korvpalli, 17 inimest - hokit, 18 inimest - võrkpalli. Neile meeldib kaks spordiala - korvpall ja hoki 4 inimest, korvpall ja võrkpall 3 inimest, võrkpall ja hoki 5 inimest. Neist kolm ei armasta korvpalli, võrkpalli ega hokit. Kui palju lapsi armastab korraga kolm spordiala?

Küsimused temaatilise testi jaoks sellel teemal
"Hulgateooria elemendid"

Nõutavad oskused: näidata ristmikku, liitu, komplektide erinevust Euleri ringides; leida ristmik, liit, hulkade erinevus, lahendada kombineeritud näiteid; lahendage kõige lihtsamad probleemid Euleri ringide abil.